Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt

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Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe Schwierigkeiten mit zwei Aufgaben zum Theme Integralrechnung. Hier zunächst die Aufgabenstellungen:

1)Bestimmen Sie die Länge des von der Geraden x=5 auf der Kurve



abgeschnittenen Bogens.

2) Eine Fläche im 2. Quadranten der xy-Ebene wird durch die y-Achse und einen Teil der parametrisch gegebenen Kurve



begrenzt. Fertigen Sie eine Grob-Skizze an und bestimmen Sie den Flächeninhalt.

Meine Ideen:
zu 1) Um die Länge eines Bogens zu berechnen wird folgende Formel benötigt:



Ich habe aber schon ein Problem mit dem Verständnis der Aufgabe, da ich nicht ganz verstehe, bis wohin ich die Länge begrenzen soll bzw. nur zum Teil.Die obere Grenze leigt bei 5. Aber wo liegt die Untere? Soll man hier bis zur y-Achse gehen oder bis zum Schnittpunkt mit der X-Achse auf der linken Seite(habe mir die Kurve angesehen).Dazu müsste ich doch die Nullstellen berechnen, oder?

zu 2) Ich würde hier die parametrisch gegebene Funktion in eine explizite umwandeln. Das bedeutet, eine der beiden Gleichungen muss nach t umgestellt werden. Allerdings weiß ich nicht so recht, wie man



nach t umstellt.

Kann mir bei den beiden Aufgaben jemand helfen?

Vielen Dank und Gruß
Duinne
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Die Gleichung ist nicht für alle x lösbar. Daraus bekommst du die untere Grenze.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Ich habe die Gleichung mit y=0 nach x aufgelöst und -2 erhalten.
Wie bekomme ich denn heraus, für x die Gleichung nicht lösbar ist?
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Schau dir das Vorzeichen der linken und rechten Seite an
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Die Vorzeichen auf beiden Seiten?



Beide Seiten sind positiv. Und nun?
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Dann setzt rechts mal -3 ein Big Laugh
 
 
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Stimmt verwirrt das ergibt -1. Also könnte die rechte Seite auch negativ sein. Was mache ich mit der Aussage?
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Wenn (x,y) auf der Kurve liegt, dann gilt , also muss die rechte Seite nichtnegativ sein.....
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Also irgendwie kommen wir hier nicht so richtig voran ich fragemal so: ist die Begrenzung von -2 bis 5 richtig? Wenn ja, wie leite ich diese Funktion ab? Mich irritiert das y^2...
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Begrenzung ist richtig.
Wenn du bedenkst, dass die Gleichung zu einem x> -2 zwei Lösungen hast, kannst du hier
die Wurzel ziehen und die Symmetrie der Kurve benutzen.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Wenn ich die Wurzel ziehe, komme ich auf



Ist das meine Gleichung, die ich ableiten muss?
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
ja
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Und zählt zu der Bogenlänge auch die Kurve unterhalb der x-Achse? Oder nimmt man da nur die Hälfte?

Kannst du mir auch noch einen Ansatz zur Aufgabe 2 geben?

Vielen Dank für deine Hilfe!
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Ich denke, der ganze Witz an der ersten Aufgabe besteht darin, den unteren Teil der Kurve nicht zu vergessen.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Kann man die Länge dann einfach verdoppeln?
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Wenn du so fragst, rate ich dir, die Rechnung für den unteren Teil durchzuführen und dir damit selber ein für allemal klar zu machen, wie sich diese Symmetrie auf die Länge auswirkt
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Okay, das versuche ich mal.

Jetzt noch einmal zu Aufgabe 2: Wie sieht die Gleichung in expliziter Darstellung aus?
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
ist doch eine quadratische Gleichung, die man nach t auflösen kann
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Okay, nach t aufgelöst komme ich auf:




Das könnte ich jetzt in y-Gleichung einsetzen. Dann habe ich die Gleichung in expliziter Form.




Um die Kurve zeichnen zu können, muss ich jetzt nach x auflösen?
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Wenn du y=x^2 zeichnen sollst, löst du dann nach x auf? verwirrt
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Du meintest wahrscheinlich die quadratische Gleichung lösen, oder?

Dann bin ich bei t1=6 und t2=0.

Setze ich das in andere Gleichung ein?
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Wenn du das über die explizite Form berechnen willst, dann machst du folgendes
-überlege welche Werte t annehmen kann (Aufgabenstellung!)
-daraus folgern, welche Werte x annehmen kann.

wenn du das hast, melde dich wieder.
Bisher hast du zur Lösung praktisch nichts beigetragen und ich werde dir die Lösung nicht vorkauen.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
t muss Element der reellen Zahlen sein und damit auch x.
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
...und die gesuchte Fläche ist eine positive Zahl.
Fertig, Aufgabe gelöst.
Auf dem Niveau kannst du gerne allein weiter spielen böse
ich bin raus
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Ich weiß ja nicht, ob es dir aufgefallen ist aber ich habe nach einem Ansatz gesucht - was ich übrigens auch vermerkt hatte. Da du mir immer nur irgendwelche Schnipsel hingeworfen hast, die ich, wie du sicherlich gemerkt hast, die ganze Zeit nicht verstanden habe, kann nur so eine Antwort dabei herauskommen. Das hier ist ein Forum und die meisten Leute, die eine Frage stellen, sind nicht auf deinem Niveau - der Grund, warum man hier eine Frage stellt.

Für die letzte Antwort habe ich mir übrigens überlegt, welche t-Werte in der Gleichung x=t²-6t keine Lösung ergeben. Da aber kein absolutes Glied vorhanden ist, kann t meiner Meinung nach jede reelle Zahl annehmen. Wenn das die falsche Herangehensweise ist, dann ist es so.

Aber gut, wenn du keine Geduld für Leute hast, die in Mathematik nicht so clever sind wie du und deine Hilfestellung auch nicht anpassen kannst, dann lässt du es eben.

Trotzdem danke, dass du dir Zeit genommen hast =)

Gruß
Duinne
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Wie dir sicher aufgefallen sein wird, ist deine Feststellung, dass t eine reelle Zahl sein muss, völlig korrekt aber auch ohne jegliche Information. Leider ist dir dann wohl nicht aufgefallen, dass das kaum die gesuchte Antwort sein kann.

Ich wies nicht umsonst auf deine Aufgabenstellung hin.
Dort steht "[...]2. Quadranten der xy-Ebene" und daraus folgt
also und daraus
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Hm, wenn ich das jetzt richtig nachvollzogen habe, ergeben sich die -9 daraus, dass unter der Wurzel bei der Lösung der quadtratischen Gleichung keine negative Zahl stehen darf, korrekt?
Und du hast Recht, da habe ich voll gepennt, die 0 ergibt sich aus der Aufgabenstellung durch den 2. Quadranten. Sorry, da kann man wirklich ungeduldig werden.

Mit dieser erkenntnis könnte ich mir doch nun eine Wertetabelle mit





wobei machen.
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RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Zitat:
Original von Duinne
Hm, wenn ich das jetzt richtig nachvollzogen habe, ergeben sich die -9 daraus, dass unter der Wurzel bei der Lösung der quadtratischen Gleichung keine negative Zahl stehen darf, korrekt?

Nicht ganz. Sie ergibt sich wenn du die Wertemenge der Funktion auf dem Intervall [0,6] bestimmst. Warum musst du das tun? Weil , du also alle möglichen Werte auf der rechten Seite brauchst.
Die Wertemenge ist gerade das Intervall [-9,0]
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intgralrechnung - Bogenlänge, Flächeninhalt
Achja, Intervall und Wertebereiche.

Okay, also ich habe jetzt alles lösen können

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe und deine Zeit!

Liebe Grüße
Duinne
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