Stetigkeit Mehrdimensional

02.06.2014, 22:43

Wess

Stetigkeit Mehrdimensional

Hallo!
Ich habe eine Frage zu einem Beispiel, bei ich leider so gar nicht weiß, wie ich ansetzen soll, ich soll untersuchen, ob die Funktion
$\begin{eqnarray*} (\mathbb R, ||.||_2), (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f:[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{sin(x-y)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

Im Punkt (0,0) stetig ist oder nicht.
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich an das Ganze am besten rangehe.

Habe versucht, mich mit ein paar Folgen an 0 zu näheren, und es ist eigentlich jedesmal 0 als Grenzwert rausgekommen, deshalb vermute ich eigentlich, dass die Funktion stetig ist. Wie zeige ich das aber nun im mehrdimensionalen?

Über jede Hilfe wäre ich sehr froh!

mfg Wess

03.06.2014, 09:18

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f:[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wirklich diese? Es ist $\begin{eqnarray*} [-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

03.06.2014, 09:47

Wess

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Ups, natürlich meine ich, dass x und y nur aus diesem Intervall sind, danke für den Hinweis!

03.06.2014, 10:18

bijektion

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Es geht folglich um $\begin{eqnarray*} f:[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}]^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2-y^2}{sin(x-y)} & x\neq y \\ 0 & x=y \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$ smile

Zitat:

Habe versucht, mich mit ein paar Folgen an 0 zu näheren, und es ist eigentlich jedesmal 0 als Grenzwert rausgekommen, deshalb vermute ich eigentlich, dass die Funktion stetig ist.

Du musst zeigen das das für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (z_n)_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_n \in [-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}]^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_n \to (0,0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Nehmen wir mal an, dass $\begin{eqnarray*} z_n =(x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_n \to 0 \end{eqnarray*}$ . Was gilt dann?

03.06.2014, 12:20

Wess

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Also meine Überlegungen der letzten Stunde:

Vielen Dank erstmal für den Ansatz!

Wenn $\begin{eqnarray*} z_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss auch $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .

\
Es ist $\begin{eqnarray*} f(z_n)= \frac{x_n^2+y_n^2}{sin(x_n-y_n)} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt würde ich gerne begründen, warum der limes dann gegen 0 geht.
Es gilt ja, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{sin(x)}=0 \end{eqnarray*}$ .
Wenn nun n gegen unendlich geht, dann geht $\begin{eqnarray*} x_n^2+y_n^2 \end{eqnarray*}$ gegen 0 und $\begin{eqnarray*} x_n-y_n \end{eqnarray*}$ gegen 0, also ist insgesamt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{x_n^2+y_n^2}{sin(x_n-y_n)}=0 \end{eqnarray*}$ .
Und somit ist f stetig im Punkt 0.
Reicht das als Begründung? Passt das so?

lg, und danke!

03.06.2014, 14:51

bijektion

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Ich halte diese Begründung für nicht wirklich gut.

Du kannst als gegeben Voraussetzen, das es zu beliebigem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ eine Nummer $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ sicherlich $\begin{eqnarray*} |x_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |y_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt (wir nehmen mal an, das $\begin{eqnarray*} x_n\neq y_n \end{eqnarray*}$ ).

Zu zeigen ist, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \tilde{\varepsilon}>0 \end{eqnarray*}$ auch ein $\begin{eqnarray*} N_0 \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |f(x_n,y_n)|<\tilde{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kannst du erstmal nutzen, dass offensichtlich $\begin{eqnarray*} x_n^2,y_n^2>0 \end{eqnarray*}$ ist und geeignet abschätzen smile

03.06.2014, 18:41

Wess

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Ah ok, danke, da bin ich direkt mit dem Limes wohl doch zu "schnell" unterwegs gewesen!

Also soll ich es über die Defintion der Konvergenz zeigen, ja?

Also was ich bis jetzt habe, aber mir wieder nicht sicher bin:

Für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt dann ja für $\begin{eqnarray*} |f(x_n,y_n,)| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |f(x_n,y_n)|=|\frac{x_n^2+y_n^2}{sin(x_n-y_n)}| \leq \frac{2 \epsilon ^2}{|sin(x_n-y_n)|}= \frac{2 \epsilon ^2}{sin(x_n)cos(y_n)-cos(x_n)sin(y_n)} \end{eqnarray*}$

Aber hier finde ich nicht so recht weiter :S

Danke für die Geduld!

03.06.2014, 19:11

bijektion

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Da fehlen im letzten Term die Beträge im Nenner smile

Weiter könntest du mit $\begin{eqnarray*} |a-b|\geq ||a|-|b|| \end{eqnarray*}$ arbeiten smile

03.06.2014, 20:08

Wess

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Nur um sicherzugehen, dass ich auf dem richtigen Weg bin:

Ist das zumindest richtig gedacht?

$\begin{eqnarray*} \frac{2 \epsilon ^2}{|sin(x_n)cos(y_n)-cos(x_n)sin(y_n)|} \leq \frac{2 \epsilon ^2}{||sin(x_n)cos(y_n)|-|cos(x_n)sin(y_n)||} \leq |\frac{2 \epsilon ^2}{|sin(x_n)cos(y_n)|}-\frac{2 \epsilon ^2}{|cos(x_n)sin(y_n)|}| \leq |\frac{2 \epsilon ^2}{|sin(x_n)cos(y_n)|}+\frac{2 \epsilon ^2}{|cos(x_n)sin(y_n)|} |\leq |\frac{2 \epsilon ^2}{|sin(x_n)cos(y_n)|}|+|\frac{2 \epsilon ^2}{|cos(x_n)sin(y_n)|}| \end{eqnarray*}$

Nur damit ich weiß, dass zumindest bis hierhin alles passt! Danke nochmal!!

03.06.2014, 20:18

Wess

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Nehme alles zurück, habe gerade selber meinen fehler entdeckt... LOL Hammer

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