Aussage über globales Maximum im R²

02.06.2014, 23:03	David Steiman	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussage über globales Maximum im R² Mir fehlt leider der Ansatz zum Lösen folgender Aufgaben Stellung Sei $\begin{eqnarray} D \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ offen und $\begin{eqnarray} f : D \to \mathbb R \end{eqnarray}$ Folgende Aussage gilt zu beweisen oder durch Gegenbeispiel zu widerlegen: Ist $\begin{eqnarray} f''(x_0) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in D \end{eqnarray}$ nicht negativ denit und besitzt f ein globales Maximum in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ Ich habe bereits einige Funktionen und Überlegungen hinter mir, ohne etwas zu finden was diese Aussage widerlegt...wird vllt an der Uhrzeit liegen Wäre nett, wenn mir jemand helfen kann. gruß
03.06.2014, 02:56	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann nicht stimmen. Aus dem globalen Maximum bei x0 folgt notwendig, dass f'(x0) = 0 ist. Wäre nun f''(x0) > 0 wäre f' in einer Umgebung von x0 positiv d.h. f(x) > f(x0) für ein gewisses x aus besagter Umgebung um x0. Einzig für f''(x0) = 0 könnte das sein. (wie z.B. bei -x^3 bei x0 = 0)
03.06.2014, 09:51	David Steiman	Auf diesen Beitrag antworten »
nu stell ich gerade fest, dass ich "denit" geschrieben habe, dass sollte "definit" lauten bei der von dir genannten Funktion, die zwar auf R und nicht auf R^2 liegt, wäre f''(x0) ja auch null. Damit wäre die Aussage noch nicht widerlegt, da dort vorrausgesetzt wird, dass gerade f''(x0) > 0 bzw. NICHT negativ definit ist, jedoch x0 ein globales maximum mit f'(x0) = 0 ist. Nur für mein Verständnis, sofern ich mich erinnere wäre ein Supremum einer Funktion auch als globales Maximum möglich. Somit wäre eine Funktion, die eine schräg fallende Ebene auf einer offenen Menge abbildet eine Funktion, die tendentiell nur ein Supremum hat, da das Maximum aufgrund des Offenheitkriteriums von D nicht erreicht wird.... das Problem an diesem Gedankengang ist aber, dass auch kein Punkt x0 bei einer solchen ebene gibt, sodass dieser das globale Maximum annimmt.... herje..
04.06.2014, 16:59	David Steiman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, da es hier um eine Aufgabe für Ingenieure handelt, ist die Antwort sehr einfach. $\begin{eqnarray} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ ist für eine globale Extremstelle ein notwendiges Kriterium, so dass die Definitheit in dieser Aussage keine Bedeutung hat. Ein Mathematiker müsste dies explizit beweisen und durch Aussagenlogik die Irrelevanz der Teilaussage zeigen. Gruß

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