Lebesgue-Dichten und Verteilungsfunktionen bestimmen

03.06.2014, 13:05

PeterH

Lebesgue-Dichten und Verteilungsfunktionen bestimmen

Hallo, im Anhang befindet sich eine Aufgabe von der ich auf den ersten Blick dachte, dass sie einfach ist. Teil a) habe ich schon hinbekommen, Teil b) bereitet mir aber Schwierigkeiten.

Die Dichtefunktion der Gleichverteilung ist doch gegeben durch $\begin{eqnarray*} 1_{\left[0\text{, }1\right]} \end{eqnarray*}$ , oder? Falls ja ist der erste Teil der Aufgabe ziemlich leicht.

Beim zweiten Teil weiß ich schon nicht weiter. Die Poissonverteilung ist doch diskret. Dann kann sie doch keine Dichte besitzen, die man in das Integral einsetzen kann, oder?
Wenn ich darauf eine Antwort hätte, wäre vielleicht der dritte Teil nicht mehr schwer.[attach]34477[/attach]

Bis dann.

03.06.2014, 13:09

Math1986

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RE: Lebesgue-Dichten und Verteilungsfunktionen bestimmen

Zitat:

Original von PeterH
Beim zweiten Teil weiß ich schon nicht weiter. Die Poissonverteilung ist doch diskret. Dann kann sie doch keine Dichte besitzen, die man in das Integral einsetzen kann, oder?

Die Dichtefunktion ist hier als eine Treppenfunktion mit den entsprechenden diskreten Werten zu interpretieren.

03.06.2014, 13:25

PeterH

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Danke für die Antwort. Du meinst, dass die Dichtefunktion für positive x durch

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda^{\left\lfloor x\right\rfloor }}{\left\lfloor x\right\rfloor !}\cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

gegeben ist ( $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \cdot\right\rfloor \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Gaußfunktion) und sonst 0 ist?

03.06.2014, 15:00

Math1986

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Zitat:

Original von PeterH
Danke für die Antwort. Du meinst, dass die Dichtefunktion für positive x durch

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda^{\left\lfloor x\right\rfloor }}{\left\lfloor x\right\rfloor !}\cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

gegeben ist ( $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \cdot\right\rfloor \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Gaußfunktion) und sonst 0 ist?

Ja, richtig.

03.06.2014, 15:09

PeterH

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Okay das ist schonmal was. Allerdings werden die Ausdrück dann ganz schön kompliziert und man muss mehrere Fallunterscheidungen machen. Beispielsweise erhalte ich für x>1

$\begin{eqnarray*} \left(g*f\right)\left(x\right)=e^{-\lambda}\cdot\left[\frac{\lambda^{\left\lfloor x\right\rfloor }}{\left\lfloor x\right\rfloor !}\cdot\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)+\frac{\lambda^{\left\lfloor x-1\right\rfloor }}{\left\lfloor x-1\right\rfloor !}\cdot\left\lfloor x\right\rfloor \right] \end{eqnarray*}$ .

Die zugehörige Verteilungsfunktion sieht (zumindest für nicht-ganzzahlige Werte) noch schlimmer aus.

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