Erwartungswert kombiniert aus Exp-Vert. und N-Vert.

03.06.2014, 16:42

Helmi121

Erwartungswert kombiniert aus Exp-Vert. und N-Vert.

Es seien $\begin{eqnarray*} X \sim Exp(2),Y \sim N(1,4) \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen. Zu ermitteln ist der Erwartungswert von:
1. $\begin{eqnarray*} E(1 + 2X +3Y) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} E(Y*(Y-X)) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz

Für $\begin{eqnarray*} X \sim Exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} Y \sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} E(X) = \mu \end{eqnarray*}$

Also:

1.: $\begin{eqnarray*} E(1 + 2X +3Y) = 1 + 2E(X) + 3E(Y) = 1 + \frac{2}{2} + 3 = 5 \end{eqnarray*}$

Das liegt im richtigen Ergebnisintervall, erscheint mir aber irgendwie ein absichtlich geschenkter Punkt zu sein, denn wenn ich dann 2. auflöse komme ich auf das falsche Ergebnis.

2.: $\begin{eqnarray*} E(Y*(Y-X)) = E(Y)*E(Y) - E(Y)*E(X) = 1*1 - 1*\frac{2}{2} = 0,5 \end{eqnarray*}$

Das liegt fernab der richtigen Lösung. Außerdem erscheint mir das Herangehen falsch. Ich hab nun etwas geblättern, gelesen und gegoogelt, aber ich finde den Fehler in meinem Ansatz nicht. Ich denke mal es hat etwas damit zu tun, dass ich beide Verteilungen erst auf die gleiche Verteilungsart bringen muss?

03.06.2014, 16:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helmi121
2.: $\begin{eqnarray*} E(Y*(Y-X)) = E(Y)*E(Y) - E(Y)*E(X) \end{eqnarray*}$

Nein: Es ist umgeformt

$\begin{eqnarray*} E(Y\cdot (Y-X)) = E(Y^2) - E(YX) = E(Y^2) - E(Y)\cdot E(X) \end{eqnarray*}$ ,

letztere Zerlegung basiert auf der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E(Y^2) \stackrel{?}{=} E(Y)\cdot E(Y) \end{eqnarray*}$ ist hingegen falsch. Richtig berechnen kann man dies über

$\begin{eqnarray*} E(Y^2) = (E(Y))^2 + \operatorname{var}(Y) \end{eqnarray*}$ .

03.06.2014, 17:16

Helmi121

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} E(Y^2) \stackrel{?}{=} E(Y)\cdot E(Y) \end{eqnarray*}$ ist hingegen falsch. Richtig berechnen kann man dies über

$\begin{eqnarray*} E(Y^2) = (E(Y))^2 + \operatorname{Var}(Y) \end{eqnarray*}$ .

Ah, weil es die gleiche Funktion ist, und somit eben nicht unabhängig?

$\begin{eqnarray*} Var(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 \rightarrow E(Y^2) = (E(Y))^2 + \operatorname{Var}(Y) \end{eqnarray*}$

Ist dann einfach die umgeformte Gleichung für die Varianz, verstehe smile

, na solche Definitionen muss ich immer erst richtig anwenden, ehe sie drin sind und von dieser Art war in den Übungen bisher nichts, zumindest kann ich mich nicht erinnern... Das heißt dann die Lösung wäre:

$\begin{eqnarray*} (E(Y))^2 + Var(Y) - E(Y) * E(X) = 1 + 4 - 0.5 = 4.5 \in (4.0,\infty] \end{eqnarray*}$ Was auch die richtige Lösung ist smile

.

Danke du hilfst mir wirklich viel smile

04.06.2014, 07:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helmi121
Ah, weil es die gleiche Funktion ist, und somit eben nicht unabhängig?

Genau. Eine Zufallsgröße ist nur dann von sich selbst unabhängig, wenn sie (fast sicher) konstant ist.
Das ist hier bei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ klar nicht der Fall.

Zitat:

Original von Helmi121
$\begin{eqnarray*} Var(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 \rightarrow E(Y^2) = (E(Y))^2 + \operatorname{Var}(Y) \end{eqnarray*}$

Ist dann einfach die umgeformte Gleichung für die Varianz, verstehe smile

Genau. Bei noch komplizierteren Funktionen der Zufallsgröße, z.B. $\begin{eqnarray*} E(X^3) \end{eqnarray*}$ muss man dann auch mal echt auf die Verteilung zurückgreifen und die entsprechenden Integrale berechnen, d.h. man kommt nicht mehr mit den üblichen Charakteristiken wie $\begin{eqnarray*} E(X),\operatorname{var}(X) \end{eqnarray*}$ bei der Berechnung aus.

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