Kreise und Schulwissen

03.06.2014, 16:17

Leopold

Zitat:

Original von Iorek
Ja, der Weg ist bis hier hin korrekt. smile

Schon.
Auf der anderen Seite sind sämtliche Informationen auch der Ausgangsgleichung schon zu entnehmen. Die durch Stan10002 vorgenommene Verkomplizierung ist überflüssig.
(Das kommt mir irgendwie so vor, wie wenn jemand die Gleichung (x-11)(x-25)=0 durch Ausmultiplizieren und Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen löst.)

Edit: Aus Bereich Komplexe Ebene abgetrennt. Iorek

03.06.2014, 16:21

Iorek

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Das ist aber nur dann der Aufgabe zu entnehmen, wenn jemand diese Form bereits kennt. Wenn gerade erst mit den komplexen Zahlen anfängt, dann hat man das entsprechende Wissen aber oft noch nicht erworben.

03.06.2014, 16:58

Leopold

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Die geometrische Grundform, um die es hier geht, kennt jedes Kind, wenn es in den Kindergarten kommt. Die Beschreibung als geometrischer Ort wird spätestens in der 5. Klasse behandelt. Der Zusammenhang zwischen dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ wird bei Einführung der komplexen Zahlen hergestellt (isomorphe zweidimensionale $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorräume). Aus der Schule sollte der Zusammenhang zwischen Ortsvektoren und Richtungsvektoren bekannt sein. Das wird im übrigen bei Einführung der komplexen Zahlen wiederholt (ich kann es mir jedenfalls nichts anders vorstellen). Dann ist klar, daß für zwei komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ als Punkte der Gaußschen Zahlenebene, zugleich identifiziert mit ihren Ortsvektoren, die Differenz $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ einen Vektor darstellt, der von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zeigt. Und daß der komplexe Betrag die Übertragung des zweidimensionalen euklidischen Betrags aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist und dieser Betrag hinwieder nach dem Satz des Pythagoras der üblichen Längenvorstellung entspricht, wird auch bei Einführung dieses Begriffs behandelt und sollte im übrigen aus den Anfängervorlesungen bekannt sein.

Und jetzt muß man nur erkennen, daß die Formel der Aufgabe den bekannten geometrischen Ort aus der 5. Klasse in der Sprache der komplexen Zahlen formuliert.

Das steht sicher alles in den Unterlagen von Stan10002. Ich gebe allerdings zu, daß es bei der Schnelligkeit, mit der es in einer Vorlesung vorangeht, dem Studenten oft nicht möglich ist, diese Zusammenhänge unmittelbar zu realisieren. Es ist halt nicht dasselbe, etwas in seinem Aufschrieb stehen zu haben und es in seinen Wissensvorrat übernommen zu haben.

03.06.2014, 17:09

Iorek

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Zitat:

Original von Leopold
Die geometrische Grundform, um die es hier geht, kennt jedes Kind, wenn es in den Kindergarten kommt. Die Beschreibung als geometrischer Ort wird spätestens in der 5. Klasse behandelt.

Bereits da habe ich arge Zweifel, von deinen anderen Vorstellungen ganz zu schweigen.

Man behandelt Kreise in der Schule, ja. Man lernt auch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kennen und kürzt das dann regelmäßig mit 3,14 ab, damit man auf dem Taschenrechner bloß nicht die 2nd-Taste suchen muss. Die Kreislinie in der Form $\begin{eqnarray*} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ habe ich persönlich in der Schule aber nie kennengelernt, geschweige denn in der 5. Klasse überhaupt mit Wurzel und Quadrat gearbeitet. In der üblichen Vektorrechnung/analytische Geometrie in der Schule kommen auch eher selten Kreise vor, da beschränkt man sich auf Geraden und Ebenen. Das höchste der Gefühle sind Abstandsprobleme, und auf den "schwierigen" Fall des Abstands zwischen windschiefen Geraden mit exakter Bestimmung der Punkte mit kürzestem Abstand wird oft verzichtet.

Das wird hier zu weit vom Thema weg führen, aber zum mathematischen Vorwissen könnte ich haarsträubende Geschichten aus den letzten Mathevorkursen oder diversen regulären Veranstaltungen bei uns an der Uni erzählen (sowohl Veranstaltungen für Mathematiker als auch Serviceveranstaltungen für Anwendungswissenschaften). Es ist leider so, dass aus der Schule an mathematischer Bildung kaum etwas bzw. nichts mehr mitkommt.

03.06.2014, 17:20

Leopold

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Hundertprozentig wird das behandelt.

Ein Kreis besteht aus allen Punkten (der Zeichenebene), die von einem festen Punkt einen festen Abstand haben.

So oder vielleicht auch etwas schülerfreundlicher formuliert findet sich das in jedem Schulbuch, in der 5. Klasse eher zeichnerisch als verbal, in späteren Klassen dann in strengerer Formulierung.

Und mehr braucht man zur Lösung der Aufgabe nicht. Von $\begin{eqnarray*} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ habe ich nicht gesprochen. Genau das zwanghafte Herstellen dieser Beziehung (die "Verkomplizierung", von der ich gesprochen habe) will ich mit meinem Beitrag ja gerade verhindern.

03.06.2014, 17:47

Iorek

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Wie gesagt, deine 100% zweifle ich zunächst einmal an.

Zitat:

Original von Leopold
Ein Kreis besteht aus allen Punkten (der Zeichenebene), die von einem festen Punkt einen festen Abstand haben.

Damit drehst du dich mMn aber im Kreis, was die Aufgabe angeht. Um damit die Aufgabe zu lösen, muss man erst einmal wissen, dass $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C~|~|z-a|=r\} \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb C,r>0 \end{eqnarray*}$ einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ beschreibt. Die Herleitung darüber kann dann über die Kreislinie mit der Beziehung $\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ geschehen. Man man es natürlich elementargeometrischer über Orts- und Richtungsvektoren machen (und da habe ich auch genügend Nachhilfeschüler gehabt, die aus der Schule nicht wussten, was überhaupt ein Ortsvektor ist und dass es da Unterschiede gibt), das setzt aber anderes Wissen voraus, was viele Schüler/Studenten nicht haben.

Jeder kann einfach $\begin{eqnarray*} a^2+b^2=c^2 \end{eqnarray*}$ rezitieren, aber was bedeutet das? Dreieck, rechter Winkel, ja da war was, aber genauer Und was soll das mit Vektoren zu tun haben? Dass Pythagoras bei der Berechnung der Länge eines Vektors nochmal auftaucht, muss man auch erst einmal wissen. Unabhängig davon, habe ich mir gerade die Mathebücher Klasse 8-13 die ich hier habe durchgesehen und auch meine Schulaufzeichnungen nochmal rausgeholt. Im Schulbuch "Elemente der Mathematik Klasse 11" von Schroedel wird tatsächlich eine Einheit über Kreise eingeschoben, sogar die Gleichung eines Kreises in Mittelpunktform eingeführt. Behandelt haben zumindest wir das nicht. In allen anderen Büchern inklusive meinem Oberstufenband "Fokus Mathematik" von Cornelsen kommt zu Kreisen nichts mehr vor; dafür werden aber manche Aufgaben auf Englisch formuliert. Schließlich soll ja fachübergreifend etwas gelernt werden. Augenzwinkern

Ich will ja gar nicht bestreiten, dass man dieser Aufgabe (in einer idealen Welt) nicht mehr Zeit als einen flüchtigen Blick und eine schnelle Skizze widmen sollte. Die Schulwelt und gerade die Schulmathematikwelt ist aber alles andere als ideal.

03.06.2014, 18:07

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \left| b-a \right| = \text{Länge des Vektors} \ \overrightarrow{ab} = \text{Abstand von} \ a \ \text{und} \ b \end{eqnarray*}$

Hier nun:

$\begin{eqnarray*} \left| z + 2 \operatorname{i} \right| = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z - (-2 \operatorname{i}) \right| = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Abstand von} \ z \ \text{und} \ -2 \operatorname{i} \ \text{ist} \ 1 \end{eqnarray*}$

Alle Punkte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , die dies erfüllen, bilden einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} - 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Mehr Kenntnisse oder gar Rechnungen sind nicht erforderlich. Von irgendwelchen Kreisgleichungen rede ich nicht. Wozu auch?

03.06.2014, 23:41

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Iorek
..., dass $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C~|~|z-a|={\color{red}r^2}\} \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb C,r>0 \end{eqnarray*}$ einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ beschreibt.

Um das Rote so nicht stehen zu lassen: Es muss natürlich
$\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C~|~|z-a|={\color{green}r}\} \end{eqnarray*}$
heißen.

04.06.2014, 10:46

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \ \ \text{Abstand von} \ z \ \text{und} \ -2 \operatorname{i} \ \text{ist} \ 1 \end{eqnarray*}$

Alle Punkte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , die dies erfüllen, bilden einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} - 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Und genau diese veranschaulichende Vorstellungsgabe fehlt wahrscheinlich jemandem, der plötzlich und unerwartet mit komplexen Zahlen konfrontiert wird. Vorher, auf dem Zahlenstrahl, war's noch schön und eindimensional: ein |x-4|=2 bedeutet ja nur zwei Zahlen links und rechts von x. (Obwohl auch das einigen schon Kopfschmerzen bereiten könnte, kann ich mir denken.)

Nun aber begeben sich die Studenten das erste Mal in eine Zahlenebene. Die Algebra ist schon schlimm genug, aber wenn der Dozent nicht auf die geometrische Entsprechung hinweist, erscheint so ein Kreis nicht vorm geistigen Auge.

Im allgemeinen tut der Dozent das natürlich, wahrscheinlich sogar mehrfach. Aber, wie schon erwähnt, geht das halt gerne im Kreidestaub unter. smile

Viele Grüße
Steffen

04.06.2014, 11:57

RavenOnJ

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Aber mit Kreisen und Zirkeln wird schon in der Grundschule umgegangen - zumindest in Bayern. Von daher sollte jedem klar sein, dass die Punkte eines Kreises alle denselben Abstand vom Mittelpunkt haben. Es gibt ja auch genügend Alltagsgegenstände, an denen man das studieren kann, spätestens wenn man selber Rad fährt.

Dass in der komplexen Zahlenebene (die mit Sicherheit eingeführt wird, sobald man sich mit komplexen Zahlen beschäftigt) der Betrag der Differenz zweier Zahlen als der geometrische Abstand dieser Zahlen definiert ist, dürfte auch nicht nur einmal erwähnt worden sein.

Zur rechnerischen Beherrschung braucht man dann nur noch den Pythagoras und die Darstellung der komplexen Zahlen durch Real- und Imaginärteil. Rechtwinklige Dreiecke + Pythagoras sind mit Sicherheit Schulstoff der unteren Gymnasialklassen, mehr braucht man nicht.

04.06.2014, 12:54

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Von daher sollte jedem klar sein, dass die Punkte eines Kreises alle denselben Abstand vom Mittelpunkt haben.

Das ja. Aber erstaunlicherweise bekommen viele den Umkehrschluss nicht hin: wenn mehrere Punkte denselben Abstand zu einem weiteren Punkt haben, liegen diese Punkte auf einem Kreis. Und um diese Abstrahierung geht's ja hier.

Es ist ähnlich wie beim umgekehrten Pythagoras: wenn die Quadratsumme zweier Seiten dem Quadrat der dritten entspricht, ist das Dreieck zwangsläufig rechtwinklig. Das hat mich damals auch erst mal stutzig gemacht.

04.06.2014, 13:00

RavenOnJ

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Der Umkehrschluss beim Pythagoras ist vielleicht nicht sofort einsichtig, der beim Kreis aber schon, finde ich.

Edit: Rein anschaulich geometrisch kann man das beim Pythagoras schnell sehen, man muss nur eine Variation des rechten Winkels betrachten, die ihn vergrößert oder verkleinert. Rechnerisch kann man über den Kosinussatz gehen, wenn man ihn kennt.

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