Triangulierbarkeit

03.06.2014, 15:48

voodoo666

Triangulierbarkeit

Ich soll einen Beweis führen, wo ich nicht einmal die Aussage verstehe.
[attach]34480[/attach]

Zur Hinrichtung: Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also triangulierbar, d.h. es gibt eine Basis B von V sodass $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} f \end{bmatrix}_{B,B} \end{eqnarray*}$ obere Dreiecksmatrix ist.
Laut VL folgt daraus, dass das char. Polynom von f in Linearfaktoren zerfällt.

Ich muss mir ja nun irgendwie diese Unterraumfolge definieren, um zu zeigen dass es eine gibt. Wie könnte man da vorgehen? Ich habe über Google vieles zum Thema gefunden, dass vorschlägt die Teilräume aus den einzelnen Basiselementen zu bilden, sprich $\begin{eqnarray*} V_{1} = span b_{1} , V_{2} = span b_{1},b_{2} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich jedoch gar nicht und ich würde gern die Hintergründe kennenlernen. Wie könnte ich weitervorgehen bei diesem Beweis, wie könnte ich meine Unterräume definieren.

Bitte um Hilfe!
Danke im voraus an alle die ihre Zeit dafür opfern Augenzwinkern

Grüße

04.06.2014, 09:28

Elvis

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Ist der Vorschlag von Google nicht einleuchtend ? Du musst das nur ein bißchen allgemeiner (für j= 1,...,n) und genauer (Hin-und Rückrichtung) formulieren.

04.06.2014, 10:06

RavenOnJ

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RE: Triangulierbarkeit
Du kannst bei einem Basisvektor (BV) $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ anfangen und bekommst den UR $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}(v_1) \end{eqnarray*}$ der Dimension 1. Dann nimmst du einen anderen BV $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ dazu und hast einen UR $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ der Dimension 2, der den ersten UR echt enthält. usw.. Dass eine solche Basis existiert, wird ja schon durch die Trangulierbarkeit sichergestellt.

04.06.2014, 16:19

voodoo666

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Hallo! Danke für die beiden Antworten!
Die Hinrichtung hätte ich soweit geschafft. Prinzipiell war der Beweis bis auf die Invarianz nicht sonderlich schwer. Dass Vj immer f-invariant ist war jedoch eine ziemliche Indize-Schlacht smile

Melde mich nochmal sollte ich Probleme mit der Rückrichtung haben smile

Grüße!

05.06.2014, 08:24

Elvis

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Das Argument für die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -Invarianz von $\begin{eqnarray*} V_j \end{eqnarray*}$ scheint mir ganz einfach zu sein: in den Spalten der oberen Dreiecksmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren $\begin{eqnarray*} f(b_i), i=1,...,j \end{eqnarray*}$ , diese sind in $\begin{eqnarray*} V_j \end{eqnarray*}$ weil unterhalb der Diagonalen nur 0 stehen, also gilt $\begin{eqnarray*} x\in V_j\Rightarrow x=\sum_{i=1}^j \alpha_i b_i\Rightarrow f(x)=\sum_{i=1}^j \alpha_i f(b_i)\in V_j, j=1,...,n \end{eqnarray*}$

05.06.2014, 08:28

voodoo666

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Zitat:

Original von Elvis
diese sind in $\begin{eqnarray*} V_j \end{eqnarray*}$ weil unterhalb der Diagonalen nur 0 stehen

Gerade dass fand ich ja gerade kompliziert zu zeigen. Oder ist das offensichtlich? Ich würde wahnsinnig gerne meinen Beweis hier mal zeigen, aber bis ich das in Latex abgetippt hab ist das Semester zu Ende.
Könnte ihn allerdings mal abfotografieren und hochladen?
Grüße

05.06.2014, 12:20

Elvis

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Es ist offensichtlich.
$\begin{eqnarray*} V_1=span(b_1)\Rightarrow f(b1)=a_{11}b_1\in V_1,x\in V_1\Rightarrow ... \end{eqnarray*}$ (siehe oben)
$\begin{eqnarray*} V_2=span(b_1,b_2) \Rightarrow f(b_1)=a_{11}b_1 \in V_2,f(b_2)=a_{12}b_1+a_{22}b_2 \in V_2,x\in V_2\Rightarrow ... \end{eqnarray*}$ (siehe oben)
... (siehe oben).

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