Minimalpolynom

03.06.2014, 17:56	loci	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom Hallo ich muss für folgende Matrizen das Minimalpolynom bestimmen. Komme aber überhaupt nicht weiter. $\begin{eqnarray} <br /> 1. \begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\1 & 0 & b \\ 0 &1 & c \end{pmatrix} <br /> 2. \begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Zunächst sind hier die charakteristischen Polynome: $\begin{eqnarray} 1. (a-\lambda)(d-\lambda)-bc<br /> 2. -\lambda^3+c\lambda^2-\lambda b +a<br /> \end{eqnarray}$ Ich gehe davon aus das ich hier jeweils Fallunterschdiungen machen muss. Nur welche möglichen Fälle sind das? Viele Grüße
03.06.2014, 18:04	loci	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal zur 1. : Für den Fall $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\not=d \end{eqnarray}$ ist das Minimalpolynom: $\begin{eqnarray} (a-\lambda)(d-\lambda) \end{eqnarray}$ für den Fall $\begin{eqnarray} a=d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a-\lambda)^2 \end{eqnarray}$ da die Matrix dann ungleich 0 ist Aber was ist mit $\begin{eqnarray} b\not=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} c\not=0 \end{eqnarray}$ ?
05.06.2014, 12:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich brauchst du bei der 1. keine Falluntescheidung. Man kann leicht zeigen, dass kein Polynom vom Grad 2 die erste Matrix annulieren kann (Indem man mal $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ einsetzt....). Folglich ist das Minimalpolynom das char. Polynom und das kann man einfach ausrechnen.

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