Dreifachintegral, Volumsberechnung mit Kugelkoordinaten

03.06.2014, 18:16	Andreas93	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreifachintegral, Volumsberechnung mit Kugelkoordinaten Hallo! Ich habe den selben Thread unter Schulmathematik->Geometrie gepostet und glaube das es dort falsch aufgehoben ist. Versuche nun schon lange an dem Beispiel herum doch komme nicht wirklich weiter. Ich habe folgenden Körper gegeben: K={(x,y,z) element von R³\|0<=x<=x²+y²+z²<=4} Und habe Probleme bei der Bestimmung der Grenzen von r, p, v Wenn ich die Kugelkoordinaten verwende: x=rcos(p)sin(v) y=rsin(p)sin(v) z=rcos(v) p[0,2pi], v[0,pi] Für die Grenzen von p verwendete ich 0<=x<=x²+y²+z² Durch Einsetzen und Kürzung von r und Weglassen von sin(v) komme ich auf 0<=cos(p)<=r. cos(p) ist nur im Bereich -pi/2 bis pi/2 positiv also größer null also dachte ich die Grenzen von p sind eben diese. Wenn ich jetzt jedoch die Grenzen von r und v Ausrechnen muss bekomme ich Probleme. muss ich für r als untere Grenze 1 nehmen und als obere 2? Da ja: rcos(p)*sin(v)<=r²<=4. Da ja der cos und sin nur positiv sind maximal 1 sind dann darf ja das r nicht kleiner 1 sein da die Ungleichungskette nicht mehr erfüllt ist? Oder übersehe ich da etwas. Wäre sehr dankbar über Hilfe beziehungsweise Tipps! smile
03.06.2014, 19:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde nicht gleich auf Kugelkoordinaten umschalten. Zunächst zeigt die Ungleichungskette $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 \end{eqnarray}$ daß $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ liegen muß. Auf der anderen Seite ist der rechte Teil, also $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 \end{eqnarray}$ nicht mehr erfüllbar, wenn $\begin{eqnarray} x>2 \end{eqnarray}$ ist, weil die Quadratesumme dann schon größer als $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ wäre. Somit muß sogar $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq 2 \end{eqnarray}$ gelten. Jetzt schauen wir uns den Teil $\begin{eqnarray} x \leq x^2 + y^2 + z^2 \end{eqnarray}$ an. Oder äquivalent: $\begin{eqnarray} x - x^2 \leq y^2 + z^2 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} 1 \leq x \leq 2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x \leq x^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x - x^2 \leq 0 \end{eqnarray}$ . Die Ungleichung $\begin{eqnarray} x - x^2 \leq y^2 + z^2 \end{eqnarray}$ ist damit für alle $\begin{eqnarray} y,z \end{eqnarray}$ erfüllt, denn die Quadratesumme ist nichtnegativ. Man erhält somit eine leere Bedingung an $\begin{eqnarray} y,z \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} 0 \leq x < 1 \end{eqnarray}$ dagegen ist $\begin{eqnarray} x > x^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x - x^2 > 0 \end{eqnarray}$ . Die Ungleichung $\begin{eqnarray} x - x^2 \leq y^2 + z^2 \end{eqnarray}$ ist nicht mehr für alle $\begin{eqnarray} y,z \end{eqnarray}$ erfüllt. Man sollte also für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eine Fallunterscheidung durchführen. Im Falle $\begin{eqnarray} 0 \leq x < 1 \end{eqnarray}$ ist über alle $\begin{eqnarray} (y,z) \end{eqnarray}$ der Menge $\begin{eqnarray} A(x) = \left\{ \, (y,z) \, \left\| \, x - x^2 \leq y^2 + z^2 \leq 4 - x^2 \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ zu integrieren. Das ist ein Kreisring mit $\begin{eqnarray} \sqrt{x-x^2} \end{eqnarray}$ als innerem und $\begin{eqnarray} \sqrt{4-x^2} \end{eqnarray}$ als äußerem Radius. Er hat den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} \pi \left( 4 - x^2 \right) - \pi \left( x - x^2 \right) = \pi \left( 4-x \right) \end{eqnarray}$ . Im Falle $\begin{eqnarray} 1 \leq x \leq 2 \end{eqnarray}$ ist über alle $\begin{eqnarray} (y,z) \end{eqnarray}$ der Menge $\begin{eqnarray} B(x) = \left\{ \, (y,z) \, \left\| \, y^2 + z^2 \leq 4 - x^2 \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ zu integrieren. Das ist ein Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} \sqrt{4-x^2} \end{eqnarray}$ . Er hat den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} \pi \left( 4-x^2 \right) \end{eqnarray}$ . Das gesuchte Volumen ist daher $\begin{eqnarray} V = \int \limits_0^1 \int \limits_{A(x)} \dd (y,z) ~ \dd x \ + \ \int \limits_1^2 \int \limits_{B(x)} \dd (y,z) ~ \dd x \end{eqnarray}$
03.06.2014, 19:32	Andreas93	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Leopold danke für diese ausführliche Antwort! Wusste garnicht dass es auf diesem Weg auch geht da uns sonst immer gesagt wurde wenn x²+y²+z² vorkommt soll man auf die Kugelkoordinaten zurückgreifen da dies meist am einfachsten ist. Der Weg ist nachvollziehbar und das Volumen ist dann also das das Integral von 0 bis 1 von pi(4-x) dx plus dem Integral von 1 bis 2 von pi(4-x²) dx wenn ich das richtig vestanden habe? Mfg Andreas93
03.06.2014, 20:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast das richtig verstanden. Die Lösung wirkt nur deshalb so einfach, weil wir die fertige Formel für eine Kreisfläche verwendet haben. Wollte man die $\begin{eqnarray} \dd (y,z) \end{eqnarray}$ -Integrale ohne diese Formel ausrechnen, müßte man sich auch etwas überlegen, z.B. die Einführung von Polarkoordinaten für $\begin{eqnarray} (y,z) \end{eqnarray}$ . Dann wäre man ja schon nahe bei den Kugelkoordinaten.
03.06.2014, 20:32	Andreas93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das dachte ich mir auch mit den Kreiskoordinaten da ich nicht weiss wie man das d(y,z) anschreibt. Aber wenn es mit der Kreisring Formel so einfach geht dann werde ich es so machen also danke nochmal !

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