Aufgabe zu Approximativer Binom. Vert.

03.06.2014, 21:41

Helmi121

Aufgabe zu Approximativer Binom. Vert.

Die Aufgabe
Ein idealer Würfel wird 120x geworfen. Gesucht ist:
$\begin{eqnarray*} P(18\leq X \leq 25) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz

Riecht für mich nach Binominalverteilung, da wir es hier jedoch mit großen Zahlen zu tun haben wird diese wohl zu approximieren sein.

Stellen wir erstmal die standard Formel auf:

$\begin{eqnarray*} B(120, \frac{1}{6}) = f(x) \binom{120}{x} \pi^x*(1-\pi)^{1-x} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Approximationsformel:

$\begin{eqnarray*} P(18 \leq X \leq 25) \approx \Phi (\frac{25+0.5-120* \frac{1}{6}} {\sqrt{120*\frac{1}{6}*(1-\frac{1}{6})}}) - \Phi (\frac{18-0.5-120* \frac{1}{6}} {\sqrt{120*\frac{1}{6}*(1-\frac{1}{6})}}) = \Phi ( 1.347 ) - \Phi ( -0.617 ) \approx 0,9099 - (- 0.7291) = 1.639 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun Folgendes mache:

$\begin{eqnarray*} 1.639 - 1 = 0.639 \end{eqnarray*}$

Bin ich auch im richtigen Ergebnisintervall.

Meine Fragen

1. Ist $\begin{eqnarray*} 1.639 - 1 = 0.639 \end{eqnarray*}$ legitim?
2. Stimmt $\begin{eqnarray*} \approx 0,9099 - (- 0.7291) = 1.639 \end{eqnarray*}$ ?
3. Wenn nein, was sind wäre der richtige Ansatz/wo sind die Fehler, denn dann muss bei mir etwas falsch sein.

04.06.2014, 00:22

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

bitte nochmal überarbeiten !

1.) Was ist X?
2.) Was soll $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bedeuten ?
3.) was ist f(x) ?
4.) p=1.639 ist wohl nicht möglich

04.06.2014, 00:44

Helmi121

Auf diesen Beitrag antworten »

1.) Was ist X?

Ah, ja natürlich, X = Anzahl der geworfenen 6er.

2.) Was soll $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bedeuten ?

Steht ja vorne mit dabei, da es um einen idealen Würfel geht, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 6er genau 1/6 pro Wurf.
$\begin{eqnarray*} B(120, \frac{1}{6}) = f(25) \binom{120}{25} \frac{1}{6}^25*(1-\frac{1}{6})^{120-25} \end{eqnarray*}$

3.) was ist f(x) ?

Bei dieser Fragestellung könnte nur f(18) oder f(25) interessieren, die Standard Binominalverteilung geht aber schon nicht auf Grund der großen Werte. Es gilt die Approximationsformel für die Binominalverteilung mit Stetigkeitskorrektur (zumindest denke ich das):

$\begin{eqnarray*} H_n \sim B(n,\pi), n \pi \leq 5\ und\ n(1- \pi ) \leq5, n \geq 30,\ mit\ a,b\ ganzzahlig\ mit: 0 \leq a, b \leq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( a \leq X \leq b ) \approx \Phi (\frac{b+0.5-n\pi} {\sqrt{n\pi(1-\pi)}}) - \Phi (\frac{a-0.5-n\pi} {\sqrt{n\pi(1-\pi)}}) \end{eqnarray*}$

4.) p=1.639 ist wohl nicht möglich

Nein ist es auf Grund der richtigen Lösung nicht, diese Wäre:
$\begin{eqnarray*} \in I (0.62,0.65] \end{eqnarray*}$

04.06.2014, 07:45

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zu Approximativer Binom. Vert.

Zitat:

Original von Helmi121
1. Ist $\begin{eqnarray*} 1.639 - 1 = 0.639 \end{eqnarray*}$ legitim?

Nein - einfach mal 1 abziehen, um im richtigen Bereich zu landen, ist nicht legitim.
Dass es trotzdem fast "passt", liegt an einem anderen Fehler.

Zitat:

Original von Helmi121
2. Stimmt $\begin{eqnarray*} \approx 0,9099 - (- 0.7291) = 1.639 \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß nicht, was für eine Tabelle dir vorliegt (meine ist auf zwei Stellen genau).
Zum einen ist $\begin{eqnarray*} \Phi(1.347)\approx \Phi(1.35)\approx 0.9115 \end{eqnarray*}$ (ohne Interpolation).

Das entscheidende ist aber: es ist $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=\textcolor{red}{1}-\Phi(z) \end{eqnarray*}$ und nicht etwa $\begin{eqnarray*} -\Phi(z) \end{eqnarray*}$ .

04.06.2014, 09:54

Helmi121

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zu Approximativer Binom. Vert.

Zitat:

Original von Incognita
Das entscheidende ist aber: es ist $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=\textcolor{red}{1}-\Phi(z) \end{eqnarray*}$ und nicht etwa $\begin{eqnarray*} -\Phi(z) \end{eqnarray*}$ .

Das eine ist ein Fehler beim Ablesen, in der Zeile verrutscht, der nichts am richtigen Ergebnisintervall ändert, das andere erklärt es, wieso das mit der -1 klappt. Danke! Also wäre es so richtig:

$\begin{eqnarray*} 0.9115 - ( 1- 0.7291) = 0.6406 \end{eqnarray*}$

04.06.2014, 10:35

Incognita

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. So stimmt es jetzt Freude

Neue Frage »

Antworten »

Aufgabe zu Approximativer Binom. Vert.

Verwandte Themen