Reellwertige Zufallsvariablen mit Borel-Cantelli

03.06.2014, 22:10	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
Reellwertige Zufallsvariablen mit Borel-Cantelli Meine Frage: a) Sei $\begin{eqnarray} \left(X_{n} \right) _{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen. Dann gilt mit dem Borel-Cantelli-Lemma: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 : \sum\limits_{n\geq 1} P\left(\| X_{n} \| >\epsilon \right) <\infty \Rightarrow X_{n} \end{eqnarray}$ ->0 P-fast sicher. Gilt die Umkehrung dieser Implikation? Beweisen Sie Ihre Aussage. b) Seien die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} \left(X_{n} \right) _{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ aus Aufgabenteil a) zusätzlich unabhängig. Gilt dann die Umkehrung der Implikation aus a)? Beweisen Sie Ihre Aussage Meine Ideen: Also aus Aufgabenteil b) würde ich schließen, dass die Umkehrung in a) noch nicht möglich ist, allerdings in b) wohl. Leider habe ich allerdings gar keine Idee, wie ich bei dem Beweis anfangen sollte Vielen Dank im Voraus für jeden Hinweis!
04.06.2014, 11:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann ist ja schon mal das Ziel für a) klar: Es gilt eine Folge $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ zu finden mit $\begin{eqnarray} X_n\to 0 \end{eqnarray}$ P-f.s., aber zugleich $\begin{eqnarray} \sum_{n\geq 1} P\left(\|X_n\| >\varepsilon \right) = \infty \end{eqnarray}$ . Das ist nun wirklich nicht schwer: Nimm einfach $\begin{eqnarray} \Omega=[0,1] \end{eqnarray}$ , als $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ dort das Lebesgue-Maß sowie die Indikatorfunktionen $\begin{eqnarray} X_n = 1_{\left(0,\frac{1}{n}\right]} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \sum_{n\geq 1} P\left(\|X_n\| > \frac{1}{2} \right) = \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n} = \infty \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} X_n(\omega)\to 0 \end{eqnarray}$ sollte auch für alle alle $\begin{eqnarray} \omega\in [0,1] \end{eqnarray}$ ersichtlich sein. Ist natürlich klar, dass die $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ hier hochgradig voneinander abhängig sind.
05.06.2014, 12:53	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal für die Hilfe. Hast du vielleicht auch noch eine Idee, wie ich bei der b) ansetzen kann? Da ich ja davon ausgehe, dass die Aufgabe stimmt, kann ich das ja leider nicht anhand eines Beispiels zeigen, weiß aber auch noch nicht, wie ich dann den Beweis starten soll, oder was ich dafür brauche...
05.06.2014, 13:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) Die Umkehrung $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0:\, \sum\limits_{n\geq 1} P\left(\|X_n\| > \epsilon \right) < \infty \;\Longleftarrow\; P(X_n\to 0) = 1 \end{eqnarray}$ ist ja (per Negation) äquivalent zu $\begin{eqnarray} \exists \epsilon >0:\, \sum\limits_{n\geq 1} P\left(\|X_n\| > \epsilon \right) = \infty \;\Longrightarrow\; P(X_n\to 0) < 1\qquad () \end{eqnarray}$ . Darfst du denn Borel-Cantelli verwenden? Falls ja: Wähle schlicht das Ereignis $\begin{eqnarray} A_n = [\|X_n\|> \epsilon] \end{eqnarray}$ und überlege dir, warum das dann die rechte Seite von () zeigt: Tatsächlich ergibt sich damit nämlich sogar $\begin{eqnarray} P(X_n\to 0) = 0 \end{eqnarray}$ .

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