Länge eines Konfidenzintervalls bei unbekannten Parametern

03.06.2014, 22:33

Helmi121

Länge eines Konfidenzintervalls bei unbekannten Parametern

$\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ bezeichnet den Anteil der Personen, die regelmäßig eine spezielle DL in Anspruch nehmen. Für $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ soll zum Sicherheitsniveau 0.8904 ein Konfidenzintervall bestimmt werden. Befragt werden dazu 400 zufällige Personen.
Die maximale Länge des sich ergebenden KI liegt in

$\begin{eqnarray*} (A) [0,0.05), (B) (0.05,0.07], (C) (0.07,0.09], (D) (0.09;\infty) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

Formel zur Bestimmung des Idealen Stichprobenumfangs:

$\begin{eqnarray*} n \leq ( \frac{t_{n-1, 1-\alpha/2}\sigma}{\Delta})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20 \leq \frac{t_{n-1, 1-\alpha/2}\sigma}{\Delta} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta \leq 0.08*\sigma \end{eqnarray*}$

Beachtet man, dass $\begin{eqnarray*} 0 \leq \sigma \leq 1 \end{eqnarray*}$ dann kann $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ max $\begin{eqnarray*} 0.08 \end{eqnarray*}$ sein. Also $\begin{eqnarray*} (C) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig gedacht?

04.06.2014, 19:08

Helmi121

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Stimmt fast, ich hätte folgende Formel zur Bestimmung des idealen Stichprobenumfangs nutzen müssen:

$\begin{eqnarray*} n \leq \hat{\pi}*(1-\hat{\pi})*( \frac{z_{1-\alpha/2}}{\Delta})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{\pi} \ \hat{=} \ in \ diesem \ Fall: \theta \end{eqnarray*}$

Da es sich um bei $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ um einen Prozentanteil handeln soll (s. Aufgabe), gilt also:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \theta \leq 1 \end{eqnarray*}$

Ich setze für die Weitere Betrachtung für das Maximale Intervall $\begin{eqnarray*} \hat{\pi}*(1-\hat{\pi}) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 400 \leq \hat{\pi}*(1-\hat{\pi})*( \frac{1.6}{\Delta})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20 \leq \sqrt{\hat{\pi}*(1-\hat{\pi})}*( \frac{1.6}{\Delta}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta \leq \sqrt{\hat{\pi}*(1-\hat{\pi})}*\frac{1.6}{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta \leq \frac{1.6}{20} = 0.08 \in I \ (C) \end{eqnarray*}$

04.06.2014, 19:32

Helmi121

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Zitat:

Original von Helmi121
Stimmt fast, ich hätte folgende Formel zur Bestimmung des idealen Stichprobenumfangs nutzen müssen:

$\begin{eqnarray*} n \leq \hat{\pi}*(1-\hat{\pi})*( \frac{z_{1-\alpha/2}}{\Delta})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{\pi} \ \hat{=} \ in \ diesem \ Fall: \theta \end{eqnarray*}$

Da es sich um bei $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ um einen Prozentanteil handeln soll (s. Aufgabe), gilt also:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \theta \leq 1 \end{eqnarray*}$

Ich setze für die Weitere Betrachtung für das Maximale Intervall $\begin{eqnarray*} \hat{\pi}*(1-\hat{\pi}) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 400 \leq \hat{\pi}*(1-\hat{\pi})*( \frac{1.6}{\Delta})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20 \leq \sqrt{\hat{\pi}*(1-\hat{\pi})}*( \frac{1.6}{\Delta}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta \leq \sqrt{\hat{\pi}*(1-\hat{\pi})}*\frac{1.6}{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta \leq \frac{1.6}{20} = 0.08 \in I \ (C) \end{eqnarray*}$

Auch noch nicht ganz richtig. Eben nochmal die Formel nachgeschlagen und $\begin{eqnarray*} \Delta = \frac{L_{KI}}{2} \end{eqnarray*}$ gesehen.

$\begin{eqnarray*} \hat{\pi}*(1-\hat{\pi}) = 1 \end{eqnarray*}$ Ist schon mal falsch.

$\begin{eqnarray*} \Delta = \frac{L_{KI}}{2} \leq \sqrt{\hat{\pi}*(1-\hat{\pi})}*\frac{1.6}{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{KI} \leq 2 * \sqrt{\hat{\pi}*(1-\hat{\pi})}*\frac{1.6}{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\hat{\pi}*(1-\hat{\pi})} \end{eqnarray*}$ wird für $\begin{eqnarray*} \theta = 0.5 = \hat{\pi} \end{eqnarray*}$ maximal.

$\begin{eqnarray*} L_{KI} \leq 2 * 0.5 *\frac{1.6}{20} = 0.08 \end{eqnarray*}$

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