Bewegungen der Ebene

04.06.2014, 10:37	unbewegteerstbeweger	Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegungen der Ebene Meine Frage: Hallo, es soll $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ eine Ebene sein und $\begin{eqnarray} \gamma :E \to E \end{eqnarray}$ eine Gleitspiegelung. Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \gamma \circ \gamma \end{eqnarray}$ eine Verschiebung ist. Meine Ideen: Ich habe die Ebene mit dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ identifiziert und die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse auf die Spiegelgerade gelegt. Dann hat $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ die Form $\begin{eqnarray} \gamma=s \circ t_{\vec w} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \vec w = \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \vec w \end{eqnarray}$ ja parallel zur Spiegelachse ist. Dann folgt: $\begin{eqnarray} \gamma\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1+a \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1+a \\ -x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und es ergibt sich letztlich $\begin{eqnarray} \gamma \circ \gamma \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} =\gamma(\gamma \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} x_1+2\cdot a \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , das ist eine Verschiebung um $\begin{eqnarray} (2a,0) \end{eqnarray}$ und damit wäre ich fertig. Kann man das so machen? Meine Frage bezieht sich speziell auf die Identifikation mit dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ Danke!
04.06.2014, 12:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher. Falls E eine Ebene in R3 ist, kann man diese samt den Komponenten der Gleitspiegelung (Achse, Schubvektor) paralleldrehen, sodass sie parallel zu der x,y-Ebene liegt. _______________ Wenn man es nicht rechnen muss, kann man mit den einzelnen Komponenten arbeiten. Die Scherung (Schubspiegelung) ist in eine Spiegelung und Translation (Verschiebung) zu zerlegen. Diese beiden sind kommutativ und bezüglich Hintereinanderausführens auch assoziativ. Somit ergeben die beiden Spiegelungen die identische Abbildung (I), die beiden Translationen sind zu addieren. mY+

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