Normierter Raum und Banachraum

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Gabi 5 Auf diesen Beitrag antworten »
Normierter Raum und Banachraum
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass C([a,b],R) mit ||*||1 ein normierter Raum ist, wobei ||f||1:= integral von a nach b. |f(x)|dx. (f entspricht C ([a,b],R))
(b) Zeigen Sie dass C^1([a,b],R) mit ||*||oo nicht vollständig ist.
(c) Zeigen Sie dass C^1 ([a,b],R) mit ||*||1,oo ein Banachraum ist.

Meine Ideen:
Vielleicht kann man es mit der Definition zur punktweisen konvergenz bzw. gleichmäßigen konvergenz zeigen.
Oder: Es gibt ja die Definitionen zu Definitheit, positiver Homogenität und Dreiecksungleichung. Ich denke mal, dass man alle drei Teilaufgaben damit zeigen kann nur weiß ich nicht, wie ich ansetzen soll. Deswegen freue ich mich über jede Hilfe.
Leider konnte ich das Integral nicht darstellen. Hoffe, es ist trotzdem klar, was gemeint ist.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn schon gezeigt, dass ein normierter Raum vorliegt? Dafür benötigst du ja keine Konvergenz.
Gabi 5 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wie kann ich das denn ohne konvergenz zeigen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen normierten Raum musst du doch erstmal nur zeigen, dass , und gilt.
Gabi 5 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wozu brauch ich dabei das Integral? Ich muss doch nur a,b in deine Formel einsetzen, oder? Stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ist, dann wird .
Zitat:
Für einen normierten Raum musst du doch erstmal nur zeigen, dass , und gilt.

Das musst du jetzt zeigen.

Z.B. 1) , kannst du jetzt folgern, dass ?
 
 
Gabi 5 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das sollte ich schaffen. Muss jetzt aber los und bin erst heute Abend wieder da, und werde mich dann auch den anderen beiden Teilaufgaben zuwenden, nachdem ich die erste geschafft habe. Ich hoffe, du bist dann auch noch da und kannst mir wieder helfen. Schon mal danke für die bisherige Hilfe. Bis dann.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich vermutlich. Bis dann Wink
Gabi 5 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also, dass die linke Seite =0 ist, sehe ich. Aber bei der rechten Seite komme ich irgendwie nicht auf 0. Ist es also doch kein normierter Raum, was aber nicht sein kann, da ich ja genau das zeigen soll.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was kannst du nicht folgern? Für jede Abbildung ist doch , nach einem Satz gilt: ist und stetig, dann folgt aus sofort .
Kannst du diesen Satz hier nutzen?
Gabi 5 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Satz ist mir bekannt. Habe ich im Moment nicht dran gedacht. Damit folgt natürlich sofort f=0.
Danke.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, jetzt noch den Rest smile
Gabi 5 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den anderen beiden Teilaufgaben muss ich dann vermutlich mit den schon erwähnten Definitionen zu positiver Homogenität , Definitheit und dreiecksungleichung arbeiten.
Aber wie setzte ich da an?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Positive Homogenität folgt leicht, da . Definitheit ist klar nach 1) und die Dreiecksungleichung folgt mit der Dreiecksungleichung des Betrags smile
Gabi 5 Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Bin endlich fertig. War mit den Kriterien eigentlich auch gar nicht so schwer. Danke für die gute und schnelle Hilfe!
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne, kein Problem smile
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