Holomorphe Einbettung

04.06.2014, 12:26

mathrebell

Holomorphe Einbettung

Hallo,

ich verstehe nicht so ganz was holomorphe Einbettungen sind...

Ich habe eine DEfinition, die folgendes aussagt:
Injektive, glatte, holommorphe und abgeschlossene Funktionen $\begin{eqnarray*} D \rightarrow C^{n} \end{eqnarray*}$ heißen holomorphe Einbettungen von D in C.

Mir ist nicht ganz klar, warum zB. ich nicht einfach die Identität nehmen kann?

Ich weiß, dass Bereiche $\begin{eqnarray*} D \neq C \end{eqnarray*}$ keine holomorphen Einbettungen in C gestatten, aber warum?

Bin für alle Anregungen echt dankbar, da ich voll das Brett vorm Kkopf hab gerade Big Laugh

04.06.2014, 18:50

Che Netzer

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RE: Holomorphe Einbettung

Zitat:

Original von mathrebell
Mir ist nicht ganz klar, warum zB. ich nicht einfach die Identität nehmen kann?

Da geht es bei der Abgeschlossenheit schief.

06.06.2014, 10:00

mathrebell

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RE: Holomorphe Einbettung
Warum?
Wenn ich eine in $\begin{eqnarray*} D \subset C \end{eqnarray*}$ abgeschlossene Menge X habe, ist die Menge doch auch in $\begin{eqnarray*} C^{n} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, oder?

06.06.2014, 22:26

Che Netzer

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RE: Holomorphe Einbettung
Die offene Einheitskreisscheibe in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ (z.B.) ist in sich selbst abgeschlossen, in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ aber nicht. Du betrachtest ja $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ mit der Unterraum- bzw. induzierten Topologie.

07.06.2014, 11:01

mathrebell

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RE: Holomorphe Einbettung
Super, danke! Jetzt habe ich es verstanden smile

20.06.2014, 14:56

mathrebell

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Ich weiß, dass Bereiche $\begin{eqnarray*} D \neq C \end{eqnarray*}$ keine holomorphen Einbettungen in C gestatten, aber warum?

Kann mir das auch noch jmd erklären?

Habe mir schon überlegt: falls es doch gehen würde, so wäre die Funktion biholomorph. Aber zu einem Widerspruch hilft mir das irgendwie nicht Big Laugh

20.06.2014, 15:19

Che Netzer

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Das Bild von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ unter einer holomorphen Einbettung würde ja offen und abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sein müssen.

20.06.2014, 15:47

mathrebell

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Ja, aber warum geht das nicht.
kann das Bild nicht gleich C sein?

20.06.2014, 19:12

Che Netzer

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Welche Gebiete können denn biholomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sein?

23.06.2014, 16:00

mathrebell

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Mit dem kleinen Satz von Picard?

Also das Bild meiner Umkehrabbildung müsste ja dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sein. Das geht für Gebiete $\begin{eqnarray*} D \neq \mathbb C \end{eqnarray*}$ aber nicht.
Meinst du das so?

23.06.2014, 18:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von mathrebell
Mit dem kleinen Satz von Picard?

Wäre eine Möglichkeit.

Zitat:

Also das Bild meiner Umkehrabbildung müsste ja dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sein.

Nach dem genannten Satz darf sogar höchstens ein Punkt fehlen.

Zitat:

Das geht für Gebiete $\begin{eqnarray*} D \neq \mathbb C \end{eqnarray*}$ aber nicht.

Durchaus noch für Gebiete der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb C\setminus\{z_0\} \end{eqnarray*}$ – aber die sind im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nicht einfach zusammenhängend.
So gibt es also kein Gebiet $\begin{eqnarray*} D\subsetneq\mathbb C \end{eqnarray*}$ , welches biholomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist: die nicht einfach zusammenhängenden fallen aus topologischen Gründen weg; der Rest entweder wie bei dir nach dem kleinen Satz von Picard, oder nach dem Riemannschen Abbildungssatz, welcher "den Rest" auf die Einheitskreisscheibe reduziert – dann genügt Liouville.

24.06.2014, 13:30

mathrebell

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Okay, danke, hat mir sehr geholfen smile

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