Verschoben! Komplexe Zahlen - imaginäre Einheit

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04.06.2014, 13:48	Eulersche Zahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen - imaginäre Einheit Hi zusammen. Könnte mir bitte jemand die wichtigsten Fakten zur imaginären Einheit nennen? Ich versuche momentan das Thema "Komplexe Zahlen - Imaginäre Einheit" zu verstehen. Ich versuche zudem folgende Gleichung zu lösen. x² - 2x + 5 = 0 Gelöst wäre das doch x=1+2i ==> Stellt das jetzt eine Komplexe Zahl dar? Danke für alle Antworten im Voraus.
04.06.2014, 13:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast nur eine Lösung berechnet. Wieviele Lösungen hat eine quadratische Gleichung? _______________ Die imaginäre Einheit heisst $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und ist definiert als jene (komplexe) Zahl, deren Quadrat -1 ergibt. Anmerkungen: Von der Schreibweise $\begin{eqnarray} i = \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ ist abzusehen, $\begin{eqnarray} i^2 = -1 \end{eqnarray}$ hingegen ist richtig! Außerdem gilt: $\begin{eqnarray} \sqrt{(-a)} = i \sqrt a \text{ mit } a>0 \end{eqnarray}$ mY+
04.06.2014, 13:59	Eulersche Zahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Die fehlende Lösung lautet x=-1+2i. Jetzt richtig? Müsste man nicht noch schreiben x=1+(-2i )? Warum ist es zudem falsch, wenn man schreibt i=Wurzel(-1) ?
04.06.2014, 14:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zweite Lösung ist falsch. Rechne nochmals! $\begin{eqnarray} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray}$ entspricht nicht der Definition. Dadurch würden dann so seltsame Beziehungen wie $\begin{eqnarray} i^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt 1 = 1 \end{eqnarray}$ entstehen ... mY+
04.06.2014, 15:09	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
man könnte auch rechnen: $\begin{eqnarray} i^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = (\sqrt {-1})^2 = -1 \end{eqnarray}$ Das "Seltsame" liegt darin, dass in beiden Fällen zu Unrecht Potenzgesetze verwendet werden obwohl die Basis nicht positiv ist. Also Vorsicht !
04.06.2014, 15:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man darf hier überhaupt keine Potenzgesetze zur Basis (-1) anwenden, weil dies zu der Definition ohnehin nicht konform ist. Übrigens gab es über diese Problematik hierboards und auch anderswo schon ungezählte Diskussionen, es sollte in diesem Thread nicht wieder eine solche losgetreten werden, also beschränken wir uns auf die Fragen. Nur so viel, das sollte man - über die Potenzen von i - auch noch wissen: $\begin{eqnarray} i^2 = -1 \ ; \ \ i^3 = -i \ ; \ \ i^4 = 1 \ \to \ i^{4k + n} = i^n \ \ k, n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ mY+
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04.06.2014, 15:58	Eulersche Zahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr für die Infos. Die zwei Lösungen lauten doch x=1+2i und x=1-2i. Richtig? Ist folgendes, was ich schreibe richtig? ==> Imaginäre Zahlen benötigt man, um Gleichungen zu lösen, deren Ergebnis keine reelle Zahl ist.
04.06.2014, 17:13	Eulersche Zahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte noch folgende Fragen: Die zwei Lösungen lauten doch x=1+2i und x=1-2i. Richtig? Ist folgendes, was ich schreibe richtig? ==> Imaginäre Zahlen benötigt man, um Gleichungen zu lösen, deren Ergebnis keine reelle Zahl ist.
05.06.2014, 00:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Lösungen stimmen jetzt. Und, komplexe Zahlen (die heissen allgemein nicht "imaginäre ..", denn darunter versteht man rein imaginäre, also Vielfache von i) sind in vielen Bereichen (Mathematik, Physik, Technik, ..) von immenser Wichtigkeit. Dass man damit Gleichungen lösen kann, die nicht nur reelle (oder keine reellen) Lösungen besitzen, ist natürlich auch richtig und von Vorteil für die vollständige Ermittlung aller Lösungen. mY+

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