Eindeutigkeit der Lösung (Fixpunktsatz)

04.06.2014, 16:26

Lukas95

Eindeutigkeit der Lösung (Fixpunktsatz)

Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\sin(x_1+x_2) -x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}e^{-(x_1^2+x_2^2)}-x_2=0 \end{eqnarray*}$

genau eine Lösung besitzt.

Meine Idee wäre es mit den Bananscher Fixpunktsatz die Aufgabe zulösen, allerdings scheitere ich daran die Gleichungen derart um zu formen $\begin{eqnarray*} x_1=f(x_1) \end{eqnarray*}$ .

T

04.06.2014, 16:57

Leopold

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Du mußt das System als gesamtes betrachten. Dann hat es ja schon beinahe Fixpunktform. Wenn du

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \left( \frac{1}{3} \sin(x+y) \, , \, \frac{1}{4} \operatorname{e}^{-(x^2+y^2)} \right) \end{eqnarray*}$

setzt, dann ist das Gleichungssystem äquivalent zu $\begin{eqnarray*} f(z) = z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = (x,y) \end{eqnarray*}$ . Ohne die genauen Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes zu überprüfen, habe ich auf gut Glück einmal mit $\begin{eqnarray*} z_0 = (0,0) \end{eqnarray*}$ begonnen. Die Iteration

$\begin{eqnarray*} z_{n+1} = f(z_n) \, , \ n \geq 0 \end{eqnarray*}$

führte mich nach wenigen Schritten hinreichend genau zum Ziel.

04.06.2014, 18:05

Lukas95

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Muss man nicht zunächst die Kontraktion von f zeigen, bevor man die Iteration ausführt?

04.06.2014, 18:26

Leopold

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Klar, das muß noch alles überprüft werden. Ich habe ja nur gesagt, daß ich "auf gut Glück" probiert habe - und es geklappt hat. Es spricht viel dafür, daß

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

wie oben definiert, kontrahierend ist.

04.06.2014, 18:42

Lukas95

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Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Kontraktion zeigen soll.

Reicht das zuzeigen für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ dass
$\begin{eqnarray*} f(x_1)=\frac{1}{3}\sin(x_1+x_2) -x_1 \end{eqnarray*}$
ziegen dass $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ kontaktierend ist ?

04.06.2014, 19:22

Leopold

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Das ergibt keinen Sinn. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ definiert und hat Werte im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Du kannst daher $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht auf eine reelle Größe anwenden, sondern nur auf Paare reeller Zahlen, also zweidimensionale Vektoren. Du mußt zeigen: Es gibt eine positive Konstante $\begin{eqnarray*} L<1 \end{eqnarray*}$ , so daß für alle Paare $\begin{eqnarray*} z=(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=(u,v) \end{eqnarray*}$ reeller Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y,u,v \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left\| f(z) - f(w) \right\| \leq L \cdot \left\| z-w \right\| \end{eqnarray*}$

Die Doppelstriche stehen für irgendeine Norm. Man wird sie so wählen, daß die Rechnung nicht zu kompliziert wird. Ich würde es mit der Maximumnorm versuchen:

$\begin{eqnarray*} \left\| (p,q) \right\| = \max \{|p|,|q|\} \end{eqnarray*}$

(Hast du das Gleichungssystem eigentlich schon gelöst, wie ich es in meinem ersten Beitrag vorgeschlagen habe? Versuche es, damit du erst einmal ein Gefühl für den Vorgang kriegst.)

04.06.2014, 20:21

Lukas95

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Folgende Idee:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\sin(x_1+x_2) -x_1 = 0 \end{eqnarray*}$
daraus folgt doch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ liegt im $\begin{eqnarray*} [-1/3,1/3] \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}e^{-(x_1^2+x_2^2)}-x_2=0 \end{eqnarray*}$
daraus folgt $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ liegt im $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$

Die lipschitz Konstante ist dann das Supremum aus der Jacobi Matrix?

05.06.2014, 08:44

Leopold

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Richtig. Über die zweite Variable kann man sogar mehr sagen: $\begin{eqnarray*} y \in \left[ 0 \, , \frac{1}{4} \right] \end{eqnarray*}$ . Setzt man also $\begin{eqnarray*} D = \left[ - \frac{1}{3} \, , \frac{1}{3} \right] \times \left[ 0 \, , \frac{1}{4} \right] \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} f(D) \subseteq D \end{eqnarray*}$ , und außerhalb von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keinen Fixpunkt besitzen.
Wenn man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also entsprechend einschränkt:

$\begin{eqnarray*} f: D \to D , \ \ f(x,y) = \left( \frac{1}{3} \sin(x+y) \, , \, \frac{1}{4} \operatorname{e}^{-(x^2+y^2)} \right) \end{eqnarray*}$

so muß jetzt nur noch eine positive Konstante $\begin{eqnarray*} L<1 \end{eqnarray*}$ gefunden werden, so daß für $\begin{eqnarray*} z=(x,y), w=(u,v) \in D \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \text{(+)} \ \ \left\| f(z) - f(w) \right\| \leq L \left\| z - w \right\| \end{eqnarray*}$

Die Doppelstriche mögen die Maximumnorm bezeichnen. Beginnen wir also:

$\begin{eqnarray*} f(z) - f(w) = \left( \frac{1}{3} \left( \sin(x+y) - \sin(u+v) \right) \, , \, \frac{1}{4} \left( \operatorname{e}^{-(x^2+y^2)} - \operatorname{e}^{-(u^2+v^2)} \right) \right) \end{eqnarray*}$

Hier schätzen wir zunächst die erste Koordinate ab. Für alle reellen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \left| \sin(p) - \sin(q) \right| \leq \left| p-q \right| \end{eqnarray*}$ . Das folgt direkt daraus, daß die Ableitung des Sinus dem Betrage nach durch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ beschränkt ist (z.B. mittels Mittelwertsatz). Setzt man speziell $\begin{eqnarray*} p=x+y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=u+v \end{eqnarray*}$ , so folgt:

$\begin{eqnarray*} \left| \sin(x+y) - \sin(u+v) \right| \leq \left| x-u+y-v \right| \leq \left| x-u \right| + \left| y-v \right| \leq 2 \cdot \max \left\{ \left| x-u \right| \, , \, \left| y-v \right| \right\} = 2 \cdot \left\| z-w \right\| \end{eqnarray*}$

Und wenn man die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ durchmultipliziert, folgt:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{3} \left( \sin(x+y) - \sin(u+v) \right) \right| \leq \frac{2}{3} \cdot \left\| z-w \right\| \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man für $\begin{eqnarray*} z,w \in D \end{eqnarray*}$ mit ähnlichen Methoden zeigen:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \left| \frac{1}{4} \left( \operatorname{e}^{-(x^2+y^2)} - \operatorname{e}^{-(u^2+v^2)} \right) \right| \leq \frac{1}{6} \cdot \left\| z - w \right\| \end{eqnarray*}$

Setzt man also $\begin{eqnarray*} L = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , so sind beide Koordinaten von $\begin{eqnarray*} f(z)-f(w) \end{eqnarray*}$ dem Betrage nach $\begin{eqnarray*} \leq L \cdot \left\| z-w \right\| \end{eqnarray*}$ , also auch ihr Maximum, womit $\begin{eqnarray*} \text{(+)} \end{eqnarray*}$ bewiesen wäre. Zum Nachweis von $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ könntest du mit $\begin{eqnarray*} \left| \operatorname{e}^{-p} - \operatorname{e}^{-q} \right| \leq \left| p-q \right| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p,q \geq 0 \end{eqnarray*}$ beginnen und $\begin{eqnarray*} p=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} q=u^2+v^2 \end{eqnarray*}$ spezialisieren. Dann mußt du weitersehen.

EDIT - Korrektur
Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ stimmt nicht. Man kann $\begin{eqnarray*} \frac{7}{24} \end{eqnarray*}$ nehmen (siehe die folgenden Beiträge).

05.06.2014, 14:15

Lukas95

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recht herzlichen Dank für deine Hilfe
Müsste $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ nicht im Halboffen Intervall (0, 1/4] liegen?
ich wollte es über
[attach]34496[/attach] (*)

die Aussage (*) lässt leicht durch den Mittelwertsatz zeigen?

Dabei ist die Ableitung die Jacobi Matrix und die sup Norm die Matrixnorm.

Für sinus hast du ja gezeigt.
und den 2ten Term folgt:

Hier würde (*) MWS verwendet
$\begin{eqnarray*} 1/4\left| \operatorname{e}^{-p} - \operatorname{e}^{-q} \right|=(*)1/4\operatorname{e}^{-x_0}\left| p-q \right| \leq1/4 \left| p-q \right| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p,q \geq 0 \end{eqnarray*}$ beginnen

Daraus folgt L=2/3

05.06.2014, 15:11

Lukas95

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$\begin{eqnarray*} | p-q|\le (x-u)(x+u)+(y-v)(y+v)\le 2/3(x-u)+0,5(y-v)\le 2 *2/3 \max \left\{ \left | x-u \right| \, , \, \left| y-v \right| \right\} \end{eqnarray*}$

Division durch 4 ergibt

$\begin{eqnarray*} 1/4\left| \operatorname{e}^{-p} - \operatorname{e}^{-q} \right|=(*)1/4\operatorname{e}^{-x_0}\left| p-q \right| \leq(1/4) 2 *2/3 \max \left\{ \left | x-u \right| \, , \, \left| y-v \right| \right\} \end{eqnarray*}$

Ich komm auf 1/3

05.06.2014, 18:35

Leopold

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Zitat:

Original von Lukas95
Müsste $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ nicht im Halboffen Intervall (0, 1/4] liegen?

Wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \left( 0 \, , \, \frac{1}{4} \right] \end{eqnarray*}$ liegt, dann liegt es auch in $\begin{eqnarray*} \left[ 0 \, , \, \frac{1}{4} \right] \end{eqnarray*}$ . Ich wollte einfach die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes herstellen, um mir nicht neu etwas zurechtlegen zu müssen. Und diese Voraussetzungen erfordern eine abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Lukas95
$\begin{eqnarray*} | p-q|\le \color{blue} (x-u)(x+u)+(y-v)(y+v) \color{black} \le 2/3(x-u)+0,5(y-v)\le \color{red} 2 \color{black} *2/3 \max \left\{ \left | x-u \right| \, , \, \left| y-v \right| \right\} \end{eqnarray*}$

Hier fehlen die Betragsstriche. Und wo kommt der Faktor her?

$\begin{eqnarray*} \left| \operatorname{e}^{-(x^2+y^2)} - \operatorname{e}^{-(u^2+v^2)} \right| \leq \left| x^2 - u^2 + y^2 - v^2 \right| \leq \left| x^2 - u^2 \right| + \left| y^2 - v^2 \right| = \left| x-u \right| \cdot \left| x+u \right| + \left| y-v \right| \cdot \left| y+v \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \frac{2}{3} \left| x-u \right| + \frac{1}{2} \left| y-v \right| \leq \frac{2}{3} \max \left\{ |x-u| \, , \, |y-v| \right\} = \frac{2}{3} \left\| z-w \right\| \end{eqnarray*}$

Und jetzt noch durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ dividieren.

Und dann solltest du den Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ noch berechnen, also das ursprüngliche Gleichungssystem lösen.

EDIT - Korrektur
Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ zuletzt stimmt nicht. Man kann $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ oder weniger grob $\begin{eqnarray*} \frac{7}{6} \end{eqnarray*}$ nehmen.

05.06.2014, 19:02

Lukas95

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Lukas95
Müsste $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ nicht im Halboffen Intervall (0, 1/4] liegen?

Zitat:

Hier fehlen die Betragsstriche. Und wo kommt der Faktor her?

hier hast du doch auch mit 2 multipliziert
$\begin{eqnarray*} \left| \sin(x+y) - \sin(u+v) \right| \leq \left| x-u+y-v \right| \leq \left| x-u \right| + \left| y-v \right| \leq 2 \cdot \max \left\{ \left| x-u \right| \, , \, \left| y-v \right| \right\} = 2 \cdot \left\| z-w \right\| \end{eqnarray*}$

05.06.2014, 20:21

Leopold

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Zitat:

Original von Lukas95
hier hast du doch auch mit 2 multipliziert

Hast Recht ... Augenzwinkern

Wobei man den Faktor etwas weniger grob auf $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6} \end{eqnarray*}$ bringen könnte.

05.06.2014, 20:38

Lukas95

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ist damit die Aufgabe gelöst?
oder muss ich explizit den Fixpunkt ausrechnen?

06.06.2014, 13:42

Leopold

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Zitat:

Original von Lukas95
Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem

...

genau eine Lösung besitzt.

Wenn ich den Aufgabentext wörtlich nehme, ist die Aufgabe gelöst.

Hier noch einmal die Schritte:

1. Man begründet, daß außerhalb von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , wie oben definiert, keine Lösungen liegen können.
2. Man weist für $\begin{eqnarray*} f: D \to D \end{eqnarray*}$ , wie oben definiert, die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes nach.

Dennoch wäre es schön, den Fixpunkt noch zu bestimmen.

Zitat:

Original von Leopold
... habe ich auf gut Glück einmal mit $\begin{eqnarray*} z_0 = (0,0) \end{eqnarray*}$ begonnen. Die Iteration

$\begin{eqnarray*} z_{n+1} = f(z_n) \, , \ n \geq 0 \end{eqnarray*}$

führte mich nach wenigen Schritten hinreichend genau zum Ziel.

Wenn du ein CAS zur Verfügung hast, sollte es nicht schwer sein, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und die Rekursion entsprechend zu definieren. Aber selbst mit so einem "uncoolen" Werkzeug wie Excel funktioniert das.

[attach]34513[/attach]

Die Zellen A2 und B2 enthalten den Startwert.
Und in A3 bzw. B3 stehen die Formeln, die dann nach unten kopiert werden.

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