Operatornorm

04.06.2014, 21:20

Zoey_18

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Operatornorm

Meine Frage:
hey leute!
ich soll die operatornorm berechnen, wenn ich eine matrix A gegeben habe!
A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1-i & 0 \\ i & 1-i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
die definition der operatornorm kenne ich!
kann es sein, dass ich davon die Eigenwerte berechnen muss?
ich wäre euch echt dankbar über eure hilfe!

04.06.2014, 21:34

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RE: Operatornorm

Zitat:

Original von Zoey_18
kann es sein, dass ich davon die Eigenwerte berechnen muss?

und wie möchtest du das bitte anstellen? verwirrt

verwirrt

04.06.2014, 21:37

Zoey_18

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RE: Operatornorm
hmmm....genau das ist mein problem!

04.06.2014, 21:56

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RE: Operatornorm
Also gut, dann nochmal im Klartext

Zitat:

Original von Zoey_18
kann es sein, dass ich davon die Eigenwerte berechnen muss?

Nein!
Keine quadratische Matrix, keine Eigenwerte!

04.06.2014, 21:59

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ah, ok! mein fehler!
weißt du vllt, wie man sonst eine operatornorm berechnet?

04.06.2014, 22:12

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RE: Operatornorm
Wenn du die Definition der Operatornorm kennst, weißt du auch, dass sie von den Normen im Urbild- und Bildraum abhängt. Was sind hier die beiden Räume?
Welche Norm wird dort betrachtet?

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04.06.2014, 22:19

Zoey_18

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RE: Operatornorm
$\begin{eqnarray*} ||f|| = inf\{c\geq 0| \forall x \in V: ||f(x)||_W \leq c ||x||_V\} \end{eqnarray*}$ .
das hier ist meine bekannte definition von der operatornorm!
meine räume sind 2 komplexe matrizen mx1 und nx1

04.06.2014, 22:24

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RE: Operatornorm
und was ist hier m und n? und welche Norm steckt hier hinter dem
$\begin{eqnarray*} ||\cdot ||_W \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ||\cdot ||_V\ \end{eqnarray*}$ ?

04.06.2014, 22:35

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ich hab zwei Räume gegeben, die mit dem standardskalarprodukt versehen sind.
bei einer teilaufgabe musste ich zeigen, dass wenn lamda der größte eigenwert ist, dass dann die wurzel aus lamda die oparatornorm der linearen abbildung bezüglich der vom standardskalarprodukt induzierten normen ist!
meinst du das?

04.06.2014, 22:37

Zoey_18

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RE: Operatornorm
soll ich dir mal die ganze aufgabenstellung posten?

04.06.2014, 22:44

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RE: Operatornorm

Zitat:

Original von Zoey_18
dass wenn lamda der größte eigenwert ist, dass dann die wurzel aus lamda die oparatornorm der linearen abbildung bezüglich der vom standardskalarprodukt induzierten normen ist!
meinst du das?

Aha, wir kommen der Sache näher.
Jetzt schau nochmal nach, von welcher Matrix der Eigenwert berechnet wurde

04.06.2014, 22:50

Zoey_18

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RE: Operatornorm
$\begin{eqnarray*} \lambda \text{ist der größte eigenwert von} A^T \cdot A \end{eqnarray*}$ , wobei A^T hier konjjugiert ist, aber ich weiß nicht, wie man das hier schreibt!

04.06.2014, 22:53

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RE: Operatornorm
Na dann berechne doch den größten Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^*A=\bar{A}^TA \end{eqnarray*}$

04.06.2014, 22:54

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ok, also muss ich jetzt den größten eigenwert berechnen und dann daraus noch die wurzel ziehen und habe somit die operatornorm?

04.06.2014, 23:19

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RE: Operatornorm
In der Tat.
Aber beachte, dass das nur gilt, weil du im (Ur)Bildraum die euklidische Norm verwendest.
Die Spektralnorm - und das ist, was du hier berechnest - ist die Operatornorm, die von der euklidischen Norm induziert wird.

04.06.2014, 23:21

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ok, vielen dank!!!!!
ich bin grad echt am verzweifeln, könnte ich dich vllt noch etwas bezüglich dieser aufgabe fragen?

04.06.2014, 23:26

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RE: Operatornorm
wenn's nix mit der Operatornorm zu tun hat, dann besser in einem neuen Thread.

05.06.2014, 00:20

Zoey_18

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RE: Operatornorm
naja, indirekt eig schon, es geht um den beweis von der sache, dass die wurzel aus lambda die operatornorm ist, falls lambda der größte eigenwet ist! ich habs jetzt mal soweit gemacht:
$\begin{eqnarray*} ||\bar{A}^TA x|| = ...\leq ||\sum\limits_{i=1}^n <a_i,x> (\lambda a_i) || \end{eqnarray*}$ .
nun fehlt mir nur noch der letzte schritt, denn wenn ich lambda herausziehe, ist ja lambda die operatornorm, aber ich brauche ja die wurzel aus lambda! ich komme infach nicht drauf! weißt du weiter?

05.06.2014, 00:31

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RE: Operatornorm
die a_i sollen eine ONB sein?
Auf die Art bekommst du höchstens etwas über $\begin{eqnarray*} \|A^*A\| \end{eqnarray*}$ heraus, nicht über $\begin{eqnarray*} \|A\| \end{eqnarray*}$

05.06.2014, 00:32

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ja, genau, eine ONB.
weißt du, wo mein fehler liegt?

05.06.2014, 00:35

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RE: Operatornorm
Im Grunde geht es schon so. Fang an mit $\begin{eqnarray*} \|Ax\|^2 \end{eqnarray*}$ und vergleiche hier

05.06.2014, 00:49

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ok, also wenn ich das so sehe, kommt er dann auf $\begin{eqnarray*} \lambda ||x||^2 \end{eqnarray*}$ , aber wie komm ich da mit der operatornorm weiter?
ich soll es ja zeigen, wenn lambda der größte eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^*A=\bar{A}^TA \end{eqnarray*}$ ist und nicht von A

05.06.2014, 00:59

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ok, ich habs jetzt so:
$\begin{eqnarray*} ||Ax||^2 = \lambda ||x||^2 \end{eqnarray*}$ .
ziehe ich nun daraus die wurzel:
$\begin{eqnarray*} ||Ax|| = \sqrt{\lambda} ||x|| \end{eqnarray*}$ .
und nun?

05.06.2014, 01:00

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ok, ich habs jetzt so:
$\begin{eqnarray*} ||Ax||^2 = \lambda ||x||^2 \end{eqnarray*}$ .
ziehe ich nun daraus die wurzel:
$\begin{eqnarray*} ||Ax|| = \sqrt{\lambda} ||x|| \end{eqnarray*}$ .
und ist die aufgabe somit erledigt?

05.06.2014, 01:00

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RE: Operatornorm
Du willst $\begin{eqnarray*} \|A\| \end{eqnarray*}$ berechnen, dann betrachte $\begin{eqnarray*} \|Ax\| \end{eqnarray*}$ und weil das unhandlich ist, betrachte $\begin{eqnarray*} \|Ax\|^2=<x, \bar{A}^TA x> \end{eqnarray*}$ und jetzt benutzt du deine ONB.

Edit: Deine Lösung funktioniert so nicht, weil in dem anderen Thread x als EV von A^*A vorausgesetzt war

05.06.2014, 01:07

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ok, dann habe ich nun:
$\begin{eqnarray*} ||Ax||^2 \leq <x,\sum\limits_{i=1}^n {<a_i,x> \lambda \cdot a_i}> \end{eqnarray*}$

05.06.2014, 01:10

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RE: Operatornorm
da ist noch ein x, dem man mit der ONB zu Leibe rücken kann...

05.06.2014, 01:14

Zoey_18

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RE: Operatornorm
$\begin{eqnarray*} ||Ax||^2 \leq <\sum\limits_{i=1}^n {<a_i,x> a_i},\sum\limits_{i=1}^n {<a_i,x> \lambda \cdot a_i}> \end{eqnarray*}$

05.06.2014, 01:16

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RE: Operatornorm
der Rest ist jetzt stumpes Ausnutzen von Eigenschaften des Skalarproduktes und der ONB.
Das darfst du jetzt gerne selber machen.

05.06.2014, 01:41

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ok, jetzt hab ich
$\begin{eqnarray*} ||Ax||^2 < \lambda <x,x> \end{eqnarray*}$ .
nun ziehe ich die wurzel und bin fertig, ist das richtig so?

05.06.2014, 01:53

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RE: Operatornorm
Ersten ist das Kleinerzeichen falsch und zweitens hast du damit $\begin{eqnarray*} \|A\|\leq\sqrt{\lambda} \end{eqnarray*}$ gezeigt. Du willst aber Gleichheit. Dafür musst du aber nur noch ein spezielles x wählen

05.06.2014, 01:58

Zoey_18

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RE: Operatornorm
ok, ich soll die operatornorm finden, also eine zahl c, die die bedingung erfüllt!
da ja meine funktion f: $\begin{eqnarray*} x \rightarrow Ax \end{eqnarray*}$ ist, muss ich also zeigen, dass
||Ax|| \leq $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda} \end{eqnarray*}$ ||x|| ist.
und das hab ich ja gezeigt oder?

05.06.2014, 02:12

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RE: Operatornorm
schau dir nochmal die Definition der Operatornorm an.

05.06.2014, 02:16

Zoey_18

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RE: Operatornorm
$\begin{eqnarray*} ||f|| = inf\{c\geq 0| \forall x \in V: ||f(x)||_W \leq c ||x||_V\} \end{eqnarray*}$ .
ok, hier die definition! es sind doch alle bedingungen erfüllt oder?

05.06.2014, 02:19

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RE: Operatornorm

Zitat:

Original von Zoey_18
$\begin{eqnarray*} ||f|| = \textcolor{red}{inf}\{c\geq 0| \forall x \in V: ||f(x)||_W \leq c ||x||_V\} \end{eqnarray*}$ .
ok, hier die definition! es sind doch alle bedingungen erfüllt oder?

05.06.2014, 02:23

Zoey_18

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RE: Operatornorm
oooooh, das habe ich übersehen!!!!
also muss ich nun noch zeigen, dass die wurzel aus lambda das kleinste c ist oder?
hätte ich das in meiner rechnung iwo einbauen müssen?

05.06.2014, 02:37

Zoey_18

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RE: Operatornorm
gute nacht und vielen dank für deine hilfe!!!! hast mir echt seeeehr weitergeholfen!
lg

05.06.2014, 19:38

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RE: Operatornorm
Wie ich schon sagte: Dafür musst du aber nur noch ein spezielles x wählen

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