Nicht-zentrale Chi-Quadrat-Verteilung

04.06.2014, 21:52	hells_kitchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-zentrale Chi-Quadrat-Verteilung Meine Frage: Ziel dieser Aufgabe ist es, dass für $\begin{eqnarray} Q\sim\chi_{\nu}^2(\gamma) \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(Q>x)=1-F_{\nu,\gamma}^2(x) \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ im Nichtzentralitätsparameter $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ wachsend ist. Der Beweis soll in den folgenden Schritten vollzogen werden: (1) Zeigen Sie für $\begin{eqnarray} Z\sim N(a,1) \end{eqnarray}$ (eindimensional), dass $\begin{eqnarray} P_a(Z^2 > x)=1-F_{1,a}^{\chi^2}(x) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \lvert a\rvert \end{eqnarray}$ bis zum Wert 1 monoton wächst. Hinweis: Wegen Satz 15 [den zitiere ich gleich] können wir $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ annehmen. Zeigen Sie, dass die Ableitung $\begin{eqnarray} (\partial/\partial a)P_a(Z^2 > x) \end{eqnarray}$ stets positiv ist und dass $\begin{eqnarray} \lim_{a\to\infty}(Z^2>x)=1 \end{eqnarray}$ . (2) Es sei $\begin{eqnarray} Z\sim N(a\iota_{\nu},I_{\nu}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} Z^TZ=(Z-\overline{Z}\iota_{\nu})^T (Z-\overline{Z}\iota_{\nu})+\nu\overline{Z}^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \overline{Z}=\sum_{i=1}^{\nu}Z_i/\nu \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie auch, dass $\begin{eqnarray} Z-\overline{Z}\iota_{\nu} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{Z} \end{eqnarray}$ stochastisch unabhängig sind. Bestimmen Sie zudem die Verteilungen von $\begin{eqnarray} Z-\overline{Z}\iota_{\nu} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{Z} \end{eqnarray}$ . (3) Verwenden Sie Satz 15 um zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray} Z\sim N(\xi,I_{\nu}) \end{eqnarray}$ und beliebiges $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(Z^TZ>x) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \gamma=\lVert\xi\rVert^2 \end{eqnarray}$ bis zum Wert 1 monoton wächst. ---- Satz 15: Die Verteilung von $\begin{eqnarray} Z^TZ=\lVert Z\rVert^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} Z=(Z_1,\ldots,Z_{\nu})^T\sim N(\xi,I_{\nu}), \xi\in\mathbb{R}^{\nu} \end{eqnarray}$ , hängt nur von $\begin{eqnarray} \gamma=\xi^T\xi \end{eqnarray}$ ab. Meine Ideen: Hallo! Dies ist ja eine relativ lange Aufgabe... und ich gebe gerne zu, dass ich etwas überfordert bin. Könnte mir vielleicht jemand helfen, wenigstens so etwas wie einen Ansatz zu finden? MFG

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »