Volumengrößter Quader

05.06.2014, 10:33

Lynn2

Volumengrößter Quader

Meine Frage:
Man bestimme den volumengrößten Quader, der dem Ellipsoid

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3: \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \right\} \end{eqnarray*}$

einbeschrieben ist.

Meine Ideen:
Ich denke, dass es sich hierbei um ein Extrema handelt. Die angegebene Funktion stellt die Nebenbedingung da und $\begin{eqnarray*} V = a \cdot b \cdot c \end{eqnarray*}$ die Funktion ("Haupt-") darstellt. Ist das soweit richtig?

05.06.2014, 11:01

Leopold

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Du meinst wohl, daß es sich um eine Extremwertaufgabe handelt.

Es ist keine gute Idee, die Variablen mit $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen, wo ja die Halbachsen des Ellipsoids schon so heißen.
Der Quader ist durch seine Ecke $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ im ersten Oktanten bestimmt. Man darf also $\begin{eqnarray*} x,y,z \geq 0 \end{eqnarray*}$ annehmen. Das Quadervolumen ist dann

$\begin{eqnarray*} V = (2x)(2y)(2z) = 8xyz \end{eqnarray*}$

Statt $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ selbst kann man auch $\begin{eqnarray*} V^2 = 64 x^2 y^2 z^2 \end{eqnarray*}$ maximieren. Löse die Nebenbedingung nach $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ auf und setze das hier ein. Dann mußt du nur noch eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = V^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1 \end{eqnarray*}$

maximieren.

05.06.2014, 11:10

Lynn2

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Zitat:

Original von Leopold
Du meinst wohl, daß es sich um eine Extremwertaufgabe handelt.

Genau.

05.06.2014, 11:16

Lynn2

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Zitat:

Original von Leopold
Der Quader ist durch seine Ecke $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ im ersten Oktanten bestimmt. Man darf also $\begin{eqnarray*} x,y,z \geq 0 \end{eqnarray*}$ annehmen. Das Quadervolumen ist dann

$\begin{eqnarray*} V = (2x)(2y)(2z) = 8xyz \end{eqnarray*}$

Warum darf man $\begin{eqnarray*} x,y,z \geq 0 \end{eqnarray*}$ annehmen? Und warum setzt du $\begin{eqnarray*} V = (2x)(2y)(2z) = 8xyz \end{eqnarray*}$ ?

Du würdest hier $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ ersetzen, kann man die Aufgabe auch mit dem Lagrange-Verfahren lösen?

05.06.2014, 13:25

Ehos

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Das Verfahren mit dem Lagrangeschen Multiplikator führt zum Ziel. Die Zielfunktion ist das Volumen eines Quaders mit den 3 Kantenlängen 2x, 2y, 2z, also (wie Leopold schrieb)

$\begin{eqnarray*} V=8xyz \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung besteht darin, dass der Eckpunkt (x|y|z) des Quaders nicht beliebig im Raum liegt, sondern auf der Oberfläche eines Ellipsoides

$\begin{eqnarray*} \tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}+\tfrac{z^2}{c^2}=1 \end{eqnarray*}$

Zu betrachten ist also die Funktion

$\begin{eqnarray*} \tilde V(x,y,z,\lambda)=8xyz-\lambda \left ( \tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}+\tfrac{z^2}{c^2}-1\right ) \end{eqnarray*}$

Die Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x,y,z,\lambda \end{eqnarray*}$ müssen verschwinden usw.

05.06.2014, 13:42

Lynn2

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Zitat:

Original von Ehos

Die Nebenbedingung besteht darin, dass der Eckpunkt (x|y|z) des Quaders nicht beliebig im Raum liegt, sondern auf der Oberfläche eines Ellipsoides

$\begin{eqnarray*} \tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}+\tfrac{z^2}{c^2}=1 \end{eqnarray*}$

Zu betrachten ist also die Funktion

$\begin{eqnarray*} \tilde V(x,y,z,\lambda)=8xyz-\lambda \left ( \tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}+\tfrac{z^2}{c^2}-1\right ) \end{eqnarray*}$

Die Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x,y,z,\lambda \end{eqnarray*}$ müssen verschwinden usw.

Das alles ist für mich logisch.

Jedoch kann ich mir nicht erklären, warum $\begin{eqnarray*} V=8xyz \end{eqnarray*}$ . Könnte mir das jemand näher erläutern?

05.06.2014, 13:51

HAL 9000

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Irgendwie scheinst du keinerlei räumliche Vorstellung von der Lage des Quaders innerhalb des Ellipsoiden zu haben. verwirrt

Bei Kanten parallel zu den Koordinatenachsen ergibt sich aus purer Symmetrie, dass neben dem Eckpunkt $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ im ersten Oktanten die weiteren sieben Quadereckpunkte

$\begin{eqnarray*} (x,y,-z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,-y,z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,-y,-z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-x,y,z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-x,y,-z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-x,-y,z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-x,-y,-z) \end{eqnarray*}$

sind, d.h. pro Oktant genau einer. Damit ergeben sich auch Länge $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ , Breite $\begin{eqnarray*} 2y \end{eqnarray*}$ und Höhe $\begin{eqnarray*} 2z \end{eqnarray*}$ des Quaders!

05.06.2014, 13:54

Ehos

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Wenn man die Seitenlängen des Quaders mit x,y,z bezeichnen würde, so wären die Koordinaten des Quader-Eckpunktes gerade die Hälfte davon, also (x/2|y/2|z/2). Um darin den Bruch 1/2 zu vermeiden, bezeichnet man mit x,y,z nur die halben Seitenlängen des Quaders, weil dann die Koordinaten des Quader-Eckpunktes einfach lauten (x|y|z).

Das ist alles, mehr steckt nicht dahinter.

05.06.2014, 14:16

Lynn2

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Zitat:

Original von HAL 9000
Irgendwie scheinst du keinerlei räumliche Vorstellung von der Lage des Quaders innerhalb des Ellipsoiden zu haben. verwirrt

So langsam macht es klick...

05.06.2014, 15:43

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial x} = 8yz - \lambda (\frac{2x}{a^2} ) \Leftrightarrow \lambda = 4yza^2 \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y} = 8xz - \lambda (\frac{2y}{b^2} ) \Leftrightarrow \lambda = 4xzb^2 \cdot \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial z} = 8xy - \lambda (\frac{2z}{c^2} ) \Leftrightarrow \lambda = 4xyc^2 \cdot \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = - ( \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 ) \rightarrow \end{eqnarray*}$ Nebenbedingung

05.06.2014, 18:25

Lynn2

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Wie kann ich dies am besten lösen?

05.06.2014, 19:31

Leopold

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Warum versuchst du es nicht einfach einmal ... vier Gleichungen, vier Unbekannte.

Bei meinem Ansatz gibt es übrigens nur zwei Unbekannte.

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = V^2 = 64c^2 x^2 y^2 \cdot \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \right) \ \ \mbox{für} \ \ (x,y) \in D = \left\{ \, (x,y) \, \in \mathbb{R}^2 \left| \, x,y \geq 0; \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1 \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

ist zu maximieren.

$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist kompakt, daher muß $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ein Maximum annehmen. Am Rand, also für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder für $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ oder für $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ . Ansonsten ist $\begin{eqnarray*} f(x,y) > 0 \end{eqnarray*}$ . Das Maximum kann daher nur im Innern von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ liegen. Dort müssen die partiellen Ableitungen verschwinden. Es wird sich herausstellen, daß das nur bei einer einzigen Stelle der Fall ist. Daher muß an dieser das Maximum liegen. Das Überprüfen einer hinreichenden Bedingung für ein Maximum, etwa mittels der Hesse-Matrix, erübrigt sich.

Die partiellen Ableitungen sind

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{128c^2}{a^2 b^2} \cdot xy^2 \cdot \left( a^2 b^2 - 2b^2 x^2 - a^2 y^2 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{128c^2}{a^2 b^2} \cdot x^2 y \cdot \left( a^2 b^2 - b^2 x^2 - 2a^2 y^2 \right) \end{eqnarray*}$

Da man $\begin{eqnarray*} x,y>0 \end{eqnarray*}$ annehmen darf (siehe oben), erhält man durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ a^2 b^2 - 2b^2 x^2 - a^2 y^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ a^2 b^2 - b^2 x^2 - 2a^2 y^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Man kann zum Beispiel die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} a^2 y^2 \end{eqnarray*}$ auflösen und dies in die zweite Gleichung einsetzen.

05.06.2014, 19:55

Lynn2

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Ich habe versucht $\begin{eqnarray*} \lambda = 4yza^2 \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = 4xzb^2 \cdot \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$ gleichzusetzen, dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 4x^2zb^2 = 4y^2za^2 \Leftrightarrow xb=ya \Leftrightarrow x = \frac {ya}{b} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich versucht dies in 3. Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda = 4xyc^2 \cdot \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ , sodass ich $\begin{eqnarray*} \lambda = 4y^2ac^2 \cdot \frac{1}{bz} \Leftrightarrow z = 4y^2ac^2 \cdot \frac{1}{b \lambda} \end{eqnarray*}$ erhalte.

Nun könnte ich dies ja in die Nebenbedingung einsetzen, aber ich weiß nicht was ich mit dem Lambda machen soll.

05.06.2014, 21:45

Lynn2

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Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}, y_1 = \frac{b}{\sqrt{3}} , z_1 = \frac{c}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = - \frac{a}{\sqrt{3}}, y_2 = - \frac{b}{\sqrt{3}} , z_2 = - \frac{c}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Kann mir dies jemand bestätigen und wenn ja, dann müssten $\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{a}{\sqrt{3}}, y_2 = -\frac{b}{\sqrt{3}} , z_2 = -\frac{c}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ ja entfallen, weil dort ein negatives Volumen herauskommt.

05.06.2014, 22:08

HAL 9000

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Ja, die Werte stimmen. Freude

Ist man nicht notwendig an den einen oder anderen Analysisweg gebunden, käme hier auch AMGM in Frage:

Danach ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{x^2}{a^2} \cdot \frac{y^2}{b^2} \cdot \frac{z^2}{c^2}} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Für Punkte auf dem Ellipsoiden bedeutet dies (links eingesetzt) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \geq \left( \frac{xyz}{abc} \right)^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ , umgeformt zu $\begin{eqnarray*} \frac{abc}{3\sqrt{3}} \geq xyz \end{eqnarray*}$ . D.h., für das Volumen gilt

$\begin{eqnarray*} V = 8xyz \leq \frac{8}{3\sqrt{3}} abc \end{eqnarray*}$ ,

wobei Gleichheit in AMGM (*) für $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{b^2} \end{eqnarray*}$ eintritt, dazu müssen alle drei Werte gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ sein, was dann ebenfalls zu

$\begin{eqnarray*} x = \frac{a}{\sqrt{3}},\; y = \frac{b}{\sqrt{3}},\; z = \frac{c}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

führt.

05.06.2014, 22:12

Lynn2

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Vielen Dank. smile

06.06.2014, 13:45

Leopold

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Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} x_2 = - \frac{a}{\sqrt{3}}, y_2 = - \frac{b}{\sqrt{3}} , z_2 = - \frac{c}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Kann mir dies jemand bestätigen und wenn ja, dann müssten $\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{a}{\sqrt{3}}, y_2 = -\frac{b}{\sqrt{3}} , z_2 = -\frac{c}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ ja entfallen, weil dort ein negatives Volumen herauskommt.

Die Werte entfallen, weil sie nicht im vorher festgelegten Bereich für die Variablen liegen. Nur unter dieser Voraussetzung war ja die Volumenformel korrekt.

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