Parameterintegrale

05.06.2014, 11:39

Lynn2

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Parameterintegrale

Meine Frage:
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen explizit auf zwei Wegen:
1.) durch Bestimmung von f(x) und anschließendes ableiten
2.) mittels der Formel aus der Vorlesung zur Berechnung von Ableitungen von Parameterintegralen

$\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! (1-x^3)(1-2xy+y^2) \, dy \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu 2.) $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dy} \int\limits_{\chi(y)}^{\varphi(y)} f(x,y) \mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(y)}^{\varphi(y)} f_y(x,y) \mathrm{d}x + f(\varphi(y),y) \cdot \varphi'(y) - f(\chi(y),y) \cdot \chi'(y) \end{eqnarray*}$

Für meine Aufgabe bedeutet das:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dx} \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f(x,y) \mathrm{d}y = \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f_x(x,y) \mathrm{d}y + f(\varphi(x),y) \cdot \varphi'(x) - f(\chi(x),y) \cdot \chi'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dx} \int\limits_{0}^{x^2} f(x,y) \mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{x^2} f_x(x,y) \mathrm{d}y + f(x^2,y) \cdot 2x - f(0,y) \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt dies so weit?

05.06.2014, 12:11

Lynn2

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RE: Parameterintegrale

Zitat:

Original von Lynn2

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dx} \int\limits_{0}^{x^2} f(x,y) \mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{x^2} f_x(x,y) \mathrm{d}y + f(x^2,y) \cdot 2x - f(0,y) \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Wofür steht eigentlich das $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$ ?

-----

$\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! (1-x^3)(1-2xy+y^2) \, dy = \int_0^{x^2} \! (1-2xy+y^2-x^3+2x^4y-x^3y^2) \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1-2xy+y^2-x^3+2x^4y-x^3y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_x= 2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dx} \int\limits_{0}^{x^2} f(x,y) \mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-2x^2y+y^2-x^6+2x^8y-x^6y^2) \cdot 2x \end{eqnarray*}$

05.06.2014, 13:58

HAL 9000

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RE: Parameterintegrale

Zitat:

Original von Lynn2
Für meine Aufgabe bedeutet das:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dx} \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f(x,y) \mathrm{d}y = \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f_x(x,y) \mathrm{d}y + f(\varphi(x),y) \cdot \varphi'(x) - f(\chi(x),y) \cdot \chi'(x) \end{eqnarray*}$

Nein: Die Vertauschung von $\begin{eqnarray*} x\leftrightarrow y \end{eqnarray*}$ in Bezug auf deine Referenzformel hat konsequent stattzufinden, das bezieht sich auch auf die Positionen innerhalb der zweiargumentigen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f(x,y) ~ \dd y = \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f_x(x,y) ~ \dd y + f(x,\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) - f(x,\chi(x)) \cdot \chi'(x) \end{eqnarray*}$

05.06.2014, 14:05

Lynn2

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RE: Parameterintegrale
$\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! (1-x^3)(1-2xy+y^2) \, dy = \int_0^{x^2} \! (1-2xy+y^2-x^3+2x^4y-x^3y^2) \, dy = \int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-2x^3+x^4-x^3+2x^6-x^7) \cdot 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-3x^3+x^4+2x^6-x^7) \cdot 2x = \int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (2x-6x^4+2x^5+4x^7-2x^8) \end{eqnarray*}$

So ist es dann richtig?

05.06.2014, 14:23

HAL 9000

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Mitten in der Gleichungskette scheinst du plötzlich abzuleiten und verbindest dennoch seelenruhig Funktion und deren Ableitung mit einem = . Da kann ich nur einfach sagen: Falsch, und wenn es "nur" die Form ist. unglücklich

unglücklich

05.06.2014, 14:26

Lynn2

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RE: Parameterintegrale

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-2x^3+x^4-x^3+2x^6-x^7) \cdot 2x \end{eqnarray*}$

Meinst du hier?

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05.06.2014, 14:27

Lynn2

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RE: Parameterintegrale

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f(x,y) ~ \dd y = \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f_x(x,y) ~ \dd y + f(x,\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) - f(x,\chi(x)) \cdot \chi'(x) \end{eqnarray*}$

Aber hier wird doch die Ableitung nach x verlangt!?

05.06.2014, 14:32

HAL 9000

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Herrje, muss man denn noch mit dem Finger drauf zeigen?
Ich meine dieses Gleichheitszeichen:

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! (1-2xy+y^2-x^3+2x^4y-x^3y^2) \, dy ~{\color{red}=}~\int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-2x^3+x^4-x^3+2x^6-x^7) \cdot 2x \end{eqnarray*}$

Wo bitte ist hier Gleichheit??? Forum Kloppe

Forum Kloppe

05.06.2014, 14:37

Lynn2

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Ich habe hier die Leibnizregel für Parameterintegrale angewandt.

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f(x,y) ~ \dd y = \int\limits_{\chi(x)}^{\varphi(x)} f_x(x,y) ~ \dd y + f(x,\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) - f(x,\chi(x)) \cdot \chi'(x) \end{eqnarray*}$

Hätte ich das $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \end{eqnarray*}$ dazu schreiben müssen?

05.06.2014, 14:41

HAL 9000

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Ja, das hättest du.

Ich erkenne irgendwie keinerlei "Unrechtsbewusstsein" bei dir. unglücklich

unglücklich

Machen wir es mal einfacher und betrachten die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ . Schreibst du dann auch einfach

$\begin{eqnarray*} x^2 = 2x \end{eqnarray*}$

also einfach mal die Ableitung bilden und das dann gleich der Ausgangsfunktion setzen??? Aber hier machst du es.

P.S.: Es tut mir leid, zu solchen Banalitäten so viele Beiträge zu verschwenden, aber es ist einfach auf Dauer unerträglich, wenn simpelste mathematische Geplflogenheiten wie die Achtung des Gleichheitsoperators nicht eingehalten werden. böse

böse

05.06.2014, 14:46

Lynn2

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Das tut mir leid. Das war wirklich blöd von mir.

Dann hier die korrigierte Version:
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \int_0^{x^2} \! (1-x^3)(1-2xy+y^2) \, dy = \frac{\dd}{\dd x} \int_0^{x^2} \! (1-2xy+y^2-x^3+2x^4y-x^3y^2) \, dy = \int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-2x^3+x^4-x^3+2x^6-x^7) \cdot 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-3x^3+x^4+2x^6-x^7) \cdot 2x = \int\limits_{0}^{x^2} (2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (2x-6x^4+2x^5+4x^7-2x^8) \end{eqnarray*}$

Sorry nochmal Gott

Gott

05.06.2014, 14:56

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} (-2xy) = -2y \end{eqnarray*}$ , das negative Vorzeichen hier (gleich am Anfang des Integranden) scheint bei dir abhanden gekommen zu sein. Der Rest scheint zu stimmen.

05.06.2014, 15:00

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \int_0^{x^2} \! (1-x^3)(1-2xy+y^2) \, dy = \frac{\dd}{\dd x} \int_0^{x^2} \! (1-2xy+y^2-x^3+2x^4y-x^3y^2) \, dy = \int\limits_{0}^{x^2} (-2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-2x^3+x^4-x^3+2x^6-x^7) \cdot 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int\limits_{0}^{x^2} (-2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (1-3x^3+x^4+2x^6-x^7) \cdot 2x = \int\limits_{0}^{x^2} (-2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (2x-6x^4+2x^5+4x^7-2x^8) \end{eqnarray*}$

Somit ist dann die Aufgabe b) gelöst?

05.06.2014, 15:05

HAL 9000

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Ich halte das erst für gelöst, wenn du das y-Integral auch wirklich ausrechnest.

05.06.2014, 15:15

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{x^2} (-2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y + (2x-6x^4+2x^5+4x^7-2x^8) = [-y^2-3x^2y+4x^3y^2-x^2y^3]_0^{x^2} + (2x-6x^4+2x^5+4x^7-2x^8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-x^4-3x^4+4x^7+x^8) + (2x-6x^4+2x^5+4x^7-2x^8) = -x^8+8x^7+2x^5-10x^4+2x \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{x^2} (-2y-3x^2+8x^3y-3x^2y^2) \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ nur in Abhängigkeit von y integriert, hätte ich das nicht auch ohne die Leibnizregel machen können?

05.06.2014, 15:26

HAL 9000

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Ja eben darum ging es doch in der Aufgabe:

Zitat:

Original von Lynn2
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen explizit auf zwei Wegen:
1.) durch Bestimmung von f(x) und anschließendes ableiten
2.) mittels der Formel aus der Vorlesung zur Berechnung von Ableitungen von Parameterintegralen

Also beide Rechenwege durchzuführen! Und wenn du dich nicht irgendwo verrechnest, dann sollte auch dasselbe Resultat rauskommen. Sinn oder Unsinn dieser "doppelten" Rechung möchte ich da nicht erklären - das frag mal besser den Aufgabensteller, der wird sich schon was dabei gedacht haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2014, 15:27

Lynn2

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Vielen lieben Dank für deine Hilfe. smile

smile

05.06.2014, 18:29

Lynn2

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RE: Parameterintegrale

Zitat:

Original von Lynn2
Meine Frage:
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen explizit auf zwei Wegen:
1.) durch Bestimmung von f(x) und anschließendes ableiten

$\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! (1-x^3)(1-2xy+y^2) \, dy \end{eqnarray*}$

Wie bestimme ich hier am besten das f(x)? Ich würde erstmal vorschlagen auszumultiplizieren, doch nun weiß ich nicht, wie ich in f(x) das Integral berücksichtigen kann.

05.06.2014, 21:39

Lynn2

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RE: Parameterintegrale
Hat sich erledigt, alles geklärt. smile

smile

Freude

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