lim sup lim inf

05.06.2014, 13:21

duale Abbildung

lim sup lim inf

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}sup(a_n+b_n)\geq\lim_{n\to \infty}sup (a_n)+\lim_{n\to\infty}inf (b_n) \end{eqnarray*}$ zu zeigen

Meine Ideen:
ich hab keinerlei ahnung wie

sorry :\

05.06.2014, 13:25

bijektion

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Hast du dir schonmal an einem Beispiel klar gemacht, warum das gilt?

05.06.2014, 13:45

HAL 9000

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Es sollte vielleicht noch etwas zu den Voraussetzungen gesagt werden? Immerhin macht der Fall

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} a_n = \infty \end{eqnarray*}$ und zugleich $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} b_n = -\infty \end{eqnarray*}$

rechts erhebliche Definitionsprobleme. Wenn zumindest eins von beiden nicht zutrifft, dann dürfte die Aussage stimmen. Man kann sie auch als Folgerung der vermutlich bekannteren Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} u_n + \limsup_{n\to\infty} v_n \geq \limsup_{n\to \infty} (u_n+v_n) \end{eqnarray*}$

ansehen, und zwar bei Wahl von $\begin{eqnarray*} u_n=a_n+b_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v_n=-b_n \end{eqnarray*}$ .

05.06.2014, 14:01

duale abbildung

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Man soll heraus finden ab wann diese gleichung gilt. Ich wuerde sagen wenn beide folgen beschraenkt sind aber koennt ihr mid vlt bsp und ansatz geben bitte

05.06.2014, 14:16

HAL 9000

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Ein Ansatz steht bereits da - vielleicht denkst du ja über den nach, statt gleich nach weiteren zu rufen.

05.06.2014, 16:50

duale abbildung

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Hallo

pardon hab ich nicht gesehen,sorry.

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} u_n + \limsup_{n\to\infty} v_n \geq \limsup_{n\to \infty} (u_n+v_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_n=a_n+b_n \end{eqnarray*}$ hat den grenzwert $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_n=-b_n \end{eqnarray*}$ hat den grenzwert $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$

sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ und beliebig

$\begin{eqnarray*} a+b+\frac{\epsilon}{2} > u_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b+\frac{\epsilon}{2} > v_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+b-b\geq u_n+v_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} u_n + \limsup_{n\to\infty} v_n \geq \limsup_{n\to \infty} (u_n+v_n) \end{eqnarray*}$

so gut?

gruß

duale abbildung

05.06.2014, 17:51

HAL 9000

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Das ist mir ein wenig chaotisch, was du das aufschreibt.

Frage: Kennst du bereits die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} u_n + \limsup_{n\to\infty} v_n \geq \limsup_{n\to \infty} (u_n+v_n)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

bzw. darfst du sie benutzen? Falls ja, dann ist deine Behauptung hier nur eine Folgerung, indem man

$\begin{eqnarray*} u_n=a_n+b_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v_n=-b_n \end{eqnarray*}$ einsetzt:

Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} v_n = \limsup_{n\to\infty} (-b_n) = -\liminf_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ und die Behauptung ergibt sich durch einfache Addition von $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ (was man allerdings nur im Fall $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} b_n\neq -\infty \end{eqnarray*}$ darf).

Evtl. geht es also noch um den Beweis von (*). Dann haben dort aber $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ nix mehr verloren und verwirren nur!

05.06.2014, 17:59

dua

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das hier

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} u_n + \limsup_{n\to\infty} v_n \geq \limsup_{n\to \infty} (u_n+v_n)\qquad \end{eqnarray*}$ hab ich in aufgabenteil a bewiesen.

das hier ist laut übungsblatt ein hinweis $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} v_n = \limsup_{n\to\infty} (-b_n) = -\liminf_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$

muss ich dann für
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}sup(a_n+b_n)\geq\lim_{n\to \infty}sup (a_n)+\lim_{n\to\infty}inf (b_n) \end{eqnarray*}$ einfach den hinweis einsetzten und addieren?

05.06.2014, 18:14

HAL 9000

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Hab ich das nicht eben beschrieben?

Zitat:

Original von HAL 9000
Falls ja, dann ist deine Behauptung hier nur eine Folgerung, indem man

$\begin{eqnarray*} u_n=a_n+b_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v_n=-b_n \end{eqnarray*}$ einsetzt:

Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} v_n = \limsup_{n\to\infty} (-b_n) = -\liminf_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ und die Behauptung ergibt sich durch einfache Addition von $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ (was man allerdings nur im Fall $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} b_n\neq -\infty \end{eqnarray*}$ darf).

Muss man alles doppelt und dreifach erzählen und bestätigen? Entwürdigend. böse

P.S.: Es ist schlimm, dass selbst hier im Hochschulbereich einige offenbar immer nur maximal einen Gedanken pro Beitrag erfassen und dann gedanklich abschalten. Das ist Chat-Stil und treibt nur die Beitragszahl in die Höhe - daran habe ich kein Interesse.

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