Rang, Kern und Bild der Matrix in Abhängigkeit von Parameter

05.06.2014, 15:12

Arnulf123

Rang, Kern und Bild der Matrix in Abhängigkeit von Parameter

Guten Tag,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen: "Bestimmen Sie den Rang, den Kern und das Bild der Matrix in Abhängigkeit von a"

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ a & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz

Zunächst wollte ich den Kern bestimmen: gesucht alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich 3 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 3x_1-x_2+2x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+2x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax_1-x_2=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=ax_1 \end{eqnarray*}$

nach Einsetzen in 1. und 2. Gleichung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3=x_1\cdot (3a-2) \end{eqnarray*}$

Ab hier weis ich nicht genau wie ich weitermachen soll. Muss man Fälle unterscheiden für ein gewähltes a? Falls $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} ker(A)={0} \end{eqnarray*}$

Könnt Ihr mir weiterhelfen?

Danke!

05.06.2014, 15:24

bijektion

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Mir erschließt sich nicht wirklich was du da gemacht hast. Bring doch erstmal $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf die Form einer Dreiecksmatrix, das benötigst du ja soweiso für die anderen Teilaufgaben.

07.06.2014, 13:00

Arnulf123

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Zitat:

Original von bijektion
Mir erschließt sich nicht wirklich was du da gemacht hast.

Was gibt es da nicht zu verstehen
? Ich habe doch gesagt dass ich zunächst den Kern bestimmen will. Das bedeutet dass man alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bestimmen muss mit $\begin{eqnarray*} A*x=0 \end{eqnarray*}$ . Ich habe dann 3 Gleichungen und wollte $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bestimmen.

08.06.2014, 14:23

bijektion

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Zitat:

Falls $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} ker(A)={0} \end{eqnarray*}$

Das gibts nicht zu verstehen.

Wenn du eh den Rang bestimmen musst, schadet es nicht, dass $\begin{eqnarray*} rg(A) = rg \begin{pmatrix} 3a & -a & 2a \\ 3a & 6a & 3a \\ 3a & -3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einzusehen.
Jetzt benutzt du Gauß um eine Dreiecksform zu erhalten, dann kannst du den Kern auch korrekt ablesen.

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