Wie stark geht der Logarithmus gegen 0?

05.06.2014, 19:09	Nabla94	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie stark geht der Logarithmus gegen 0? Meine Frage: Hallo zusammen, ich benötige Informationen über die Konvergenz des Logarithmus: gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \left( \frac{ln(x)}{x^n} \right) = 0 \\<br /> \lim_{x \to \infty} \left( \frac{ln(x)}{x^n} \right) = 0 \end{eqnarray}$ für alle n? Grüße, Clemens Meine Ideen: Denke schon, aber wie zeigt man das? Mit l'Hospital? Darf ich den hier verwenden?
05.06.2014, 19:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe einmal davon aus, daß $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ positiv ganz sein soll. Dann ist die erste Beziehung falsch. Es liegt überhaupt kein unbestimmter Ausdruck vor. Im Gegenteil verstärken sich die Wachstumskräfte.
05.06.2014, 20:17	Nabla94	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, du hast recht, war dumm von mir Jetzt bin ich aber auf etwas anderes gekommen, was ich eigentlich auch gemeint habe (Logarithmus fällt schneller als jedes Polynom steigt): $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \left( x^{-n} + ln(x) \right) \end{eqnarray}$ Was ist damit? x^-n geht gegen unendlich, der Logarithmus gegen minus unendlich, addiert ist das doch unbestimmt? der zweite Term bleibt immernoch der interessanteste, den benötige ich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \left( \frac{ln(x)}{x^n} \right) = 0 ? \end{eqnarray}$ Grüße, Clemens
05.06.2014, 21:14	LC94	Auf diesen Beitrag antworten »
Des 2. stimmt auf jeden Fall für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N}^{+} \end{eqnarray}$ , denn für n=1 ist es klar, denn logarithmisches Wachstum ist kleiner als lineares Wachstum, welches wiederum kleiner als quadratisches ist etc.
05.06.2014, 22:15	Nabla94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok gilt also bereits für n=1, logisch, danke n ist natürlich (Achtung Wortwitz! ;D) aus den natürlichen Zahlen. Hat jemand ne Idee zum ersten Limes?

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