Punkt auf Kreis

05.06.2014, 20:42

balance

Punkt auf Kreis

Hallo,

Ich wüsste gerne wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen muss.

Welcher Punkt P auf der Geraden $\begin{eqnarray*} g: \vec{r}= (4, 4)+t(3, 1) \end{eqnarray*}$ hat von A (1/2) den Abstand 13 und ganzzahlige Koordinaten?

Vorweg: Sry wegen der Vektorendarstellung, keine Ahnung wie ich das in LaTex mache und habs nicht gefunden.

Mein Ansatz war:
1. Punkt P(u/v)
2. $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{(u-1)+(v-2)}=13 \end{eqnarray*}$
3. (u, v) = (4, 4)+t(3, 1) | t eliminieren

Jetzt löse ich das Gleichungssystem und kriege u und v aber es sind halt keine ganzzahlige Koordinaten.

Stimmt der Ansatz? Was soll mir "ganzzahlige Koordinaten" sagen?

05.06.2014, 21:23

Bürgi

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RE: Punkt auf Kreis
Guten Abend,

1. Aus der Geradengleichung folgt:

$\begin{eqnarray*} \vec r = \begin{pmatrix}u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4+3t \\ 4+t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Setze die Terme für u und v in Deine Gleichung von 2. ein und bestimme t.

Hierbei ist es zweckmäßiger die Gleichung in der Form

$\begin{eqnarray*} (u-1)^2+(v-2)^2=169 \end{eqnarray*}$
zu benutzen.

05.06.2014, 22:38

balance

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Inwiefern ist dies anderst als das was ich machte? du bestimmst t und ich u bzw. v. Aber das sollte doch aufs gleiche rauskommen, nicht?

Naja, werde es morgen mal durchrechnen.

Danke

05.06.2014, 22:54

opi

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Prinzipiell sind beide Lösungswege möglich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{(u-1){\color{red}^2}+(v-2){\color{red}^2}}=13 \end{eqnarray*}$

Du hattest die Quadrate vergessen.

Zitat:

Was soll mir "ganzzahlige Koordinaten" sagen?

Koordinaten mit ganzzahligen Komponenten, Du wirst den Unterschied sehen, wenn Du die Lösung hast. Augenzwinkern

06.06.2014, 08:40

balance

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Das ich 2 Lsg. bekomme war mir klar, dachte aber dass entweder beide ganzzahlig oder nicht sind, immerhin haben ja beide Vektoren den gleichen Betrag, sind also am Punkt A wie gespiegelt.

Habs, hatte vorhin wohl einfach irgendwo nen rechenfehler.

06.06.2014, 22:19

opi

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Zitat:

Original von balance
immerhin haben ja beide Vektoren den gleichen Betrag, sind also am Punkt A wie gespiegelt.

Nur weil etwas den gleichen Betrag hat, ist es nicht gespiegelt.
Ein Kreispunkt mit ganzzahligen Koordinaten bedeutet ja nicht, daß nun alle anderen Punkte des Kreises ebenfalls ganzzahlige Koordinaten besitzen müssten. Augenzwinkern

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