Richtungsableitungen bestimmen

06.06.2014, 12:17

xyz--

Richtungsableitungen bestimmen

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} -> \mathbb R, (x_{1}, ..., x_{n}) -> x_{1}^{r_{1}} *** x_{n}^{r_{n}} \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} a=(a_{1}, ..., a_{n}) in Richtung v= (v_{1},...v_{n}). \end{eqnarray*}$

Mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} \lim_{s \to 0, s\neq 0} \frac{f(P+sv) - f(P)}{s} \end{eqnarray*}$ bin ich auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(a_{1}^{r_{1}}+ sv_{1})*(a_{1}^{r_{2}}+ sv_{1})***(a_{2}^{r_{1}} + sv_{2})****(a_{2}^{r_{n}}+ sv_{2})****(a_{n}^{r_{1}}+ sv_{n})****(a_{n}^{r_{n}} + sv_{n})- a_{1}^{r_{1}}* a_{1}^{r_{2}}***a_{1}^{r_{n}}*a_{2}^{r_{1}}***a_{2}^{r_{n}}* a_{n}^{r_{1}}***a_{n}^{r_{n}}}{s} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=1}^n v_{i}\frac{a_{1}^{r_{1}}***a_{n}^{r_{n}}}{a_{i}^{r_{i}} }+ sg (s, a_{1}^{r{1}},...,a_{n}^{r_{n}},v_{1},...,v_{n}) \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} g (s, a_{1}^{r{1}},...,a_{n}^{r_{n}}, v_{1},...,v_{n}) \end{eqnarray*}$ eine polynomiale Funktion in s (die $\begin{eqnarray*} a_{1}^{r{1}},...,a_{n}^{r_{n}} \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} v_{1},...,v_{n} \end{eqnarray*}$ sind fixierte Zahlen). Der limes von $\begin{eqnarray*} sg (s, a_{1}^{r{1}},...,a_{n}^{r_{n}},v_{1},...,v_{n}) \end{eqnarray*}$ geht für s-> 0 gegen 0. Daher ist

$\begin{eqnarray*} (D_{v}f) (P) = \sum\limits_{i=1}^n v_{i} \frac{a_{1}^{r_{1}}***a_{n}^{r_{n}}}{a_{i}^{r_{i}}} \end{eqnarray*}$

Kann man die Aufgabe so lösen? Oder muss ich bei der Richtung v auch auf das r im Exponenten eingehen?

06.06.2014, 13:37

bijektion

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Da passt schon am Anfang was nicht: Wenn $\begin{eqnarray*} a=(a_1,\dots,a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=(v_1,\dots,v_n) \end{eqnarray*}$ , dann ist mit $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb{R}: f(a+s\cdot v)=\prod_{i=1}^{n} (a_i + s \cdot v_1)^{r_i} \end{eqnarray*}$ .

Also ergibt sich $\begin{eqnarray*} \lim_{s\to 0} \frac{f(a+s\cdot v)-f(a)}{s}=\lim_{s\to 0} \frac{\prod_{i=1}^{n} (a_i + s \cdot v_i)^{r_i}-\prod_{i=1}^{n} a^{r_i}}{s} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wäre Interessant, ob $\begin{eqnarray*} r_i \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (1\leq i\leq n) \end{eqnarray*}$ gilt oder ob natürliche Zahlen vorausgesetzt sind.

06.06.2014, 14:03

xyz--

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okay, Dankeschön.

Dazu wurde in der Aufgabenstellung keine Angabe gemacht.

Allerdings hätt ich eine Frage: warum beziehst Du dich bei deinem letzten Grenzwert nur noch auf $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ ?

06.06.2014, 14:06

bijektion

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Achso.

Zitat:

Allerdings hätt ich eine Frage: warum beziehst Du dich bei deinem letzten Grenzwert nur noch auf $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ ?

Oh, das ist ein Tippfehler, das muss ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sein, werde es editieren.

Ist alles weitere klar?

06.06.2014, 14:27

xyz--

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okay.
Ja ich denke schon, danke!

06.06.2014, 14:29