Doppelpost! Karpfenzucht

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06.06.2014, 12:32	mrprinze	Auf diesen Beitrag antworten »
Karpfenzucht Meine Frage: Hallo, ich habe folgende aufgabe für meine Prüfung zu lösen: Es gibt 3 Fischteiche in denen jeweils 400 fische schwimmen. Einmal in der Woche wird die Verbindung zwischen den Teichen geöffnet, sodass die "Fischwanderung" losgeht. 90% bleiben in T1, 10 wechseln zu T2. Im T2 bleiben 10% und 80% wechseln zu T3. Von T3 wechseln 10% zu T1 und 90% zu T2. Soviel zum Infotext und bei folgenden Aufgaben komme ich nicht weiter. a-c gelöst. d) Der Karpfenzüchter ist für das Abfischen am Ende der Saison auf möglichst exakte Werte angewiesen. Ermitteln Sie die langfristige Verteilung der Karpfen über die 3 Fischteiche. e) Weisen Sie nach, dass sich langfristig die jeweiligen Anteile vom Gesamtbestand der Kaprfen in den 3 Teichen nicht mehr ändern. f) Der Fischzüchter muss die laufenden Kosten des Betriebes abdecken und kann deshalb nicht bis Weihnachten warte. Er verpachtet den teich 2 an einige Freizeitangler. Die Angler können immer unmittelbar vor der "Fischwanderung" 10% des Bestandes Angeln. (1) Geben Sie eine Matrix an, welche die Veränderungen der Fischbestände in den Teichen 1-3 durch das Angeln beschreibt. (2) Erläutern Sie, wie man eine Matrix bestimmen kann, welche sowohl das Angekn als auch die Wanderung zwischen den teichen beschreibt. (3) Berechnen Sie diese Matrix. Meine Ideen:* Die Übergangsmatrix ist folgende: M= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 & 0,1 \\ 0,1 & 0,1 & 0,9 \\ 0 & 0,8 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So bei d) hatte ich die idee einfach die Grenzmatrix zu bestimmen. Der befindet sich bei ca. M^13 (kommt halt drauf an wie und wann man rundet). Dann habe ich für die Grenzmatrix: M(grenz)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 & 0,5 \\ 0,3 & 0,3 & 0,3 \\ 0,2 & 0,2 & 0,2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Multipliziere ich die Grenzmatrix jetzt nurnoch mit dem Bestand von 400 Fischen in den teichen? Bei e) hätte ich jetzt nur die Grenzmatrix abgelesen und gesagt wieviele Fische sich jeweils im teich befinden. Also 50% im T1, 30% T2 und 20% T3 Ist das so richtig? Bei f) muss ich sagen habe ich bis jetzt keinen richtigen Ansatz gefunden. Wäre nett wenn mir einer bitte helfen könnte. Vielen Dank
06.06.2014, 23:47	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Karpfenzucht Wie sieht denn eine Matrix aus, die die Bestände in T1 und T3 unverändert lässt, den in T2 aber um 10% reduziert?
07.06.2014, 21:24	mrprinze	Auf diesen Beitrag antworten »
naja ich denk mal die Teiche 1 und 3 ändern sich mit. In der aufgabe steht ja nicht die sollen unverändert bleiben. Hat keiner ne Idee? d) und e) konnte ich mittlerweile lösen fehlt also nur noch f)
07.06.2014, 23:18	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Karpfenzucht Wenn vor der Fischwanderung nur in Teich 2 gefischt wird, ändern sich die Bestände in den anderen Teichen natürlich nicht. Wie sieht nun die entsprechende Matrix aus?
08.06.2014, 11:24	mathgen	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme echt nicht drauf wie eine Matrix dafür aussehen soll:S Vllt zieht man ja 10% aus dem Teich 2 raus und hat folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,9 & 0,09 & 0,1 \\ 0,1 & 0,09 & 0,9 \\ 0 & 0,72 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ehrlich gesagt verstehe ich auch nicht ganz den Unterschied zwischen f) (1) und f) (2) und (3). vllt würde mir das lösen dieses Problems erstmal helfen Ich verstehe auch nicht ganz wieso sich die bestände in T1 und T3 nicht ändern. Wenn T2 weniger Fische hat und diese dann wandern, dann kommen doch auch weniger in T1 un T3 an, nach einer Woche müssten also andee Bestände rauskommen, als würde man keine Fische angeln?? Oder denke ich einfach ganz falsch? Danke schonmal für deine hilfe frank09
08.06.2014, 13:28	mathgen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also einen Ansatz hätte ich noch. Ich habe im Mathebuch eine ähnliche Aufgabe gefunden und wenn ich nach ihr gehe und die Matrix erstelle müsste folgendes rauskommen: Übergangsmatrix ohne Angeln: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 & 0,1 \\ 0,1 & 0,1 & 0,9 \\ 0 & 0,8 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Übergangsmatrix mit 10% Angeln aus T2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 & 0,1 \\ 0,1 & 0 & 0,9 \\ 0 & 0,8 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier muss ich aber sagen verstehe ich nicht genau warum sich nur a22 ändert:S? Ich brauche diese Aufgaben dringend für meine mündl. Prüfung Danke
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08.06.2014, 14:52	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Karpfenzucht Die Matrix, die nur die Bestände in T2 um 10% reduziert sieht so aus $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Veränderungen, die sich aus Angeln und anschließener Wanderung pro Woche ergeben, lassen sich durch das Produkt $\begin{eqnarray} M\cdot A \end{eqnarray}$ bechreiben, das deiner Lösungsmatrix entspricht.
08.06.2014, 15:37	mathgen	Auf diesen Beitrag antworten »
die ANtwort ist so klar darauf hätte ich echt kommen müssen. Ich bedanke mich vielmals frank09 und danke für deine Zeit. Als Ergebnis habe ich nun: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,9 & 0,09 & 0,1 \\ 0,1 & 0,09 & 0,9 \\ 0 & 0,72 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eine Frage hätte ich aber noch. Unzwar warum man $\begin{eqnarray} M\cdot A \end{eqnarray}$ rechnen muss? Gibt es dabei eine Regel oder wie muss ich mir das vorstellen? Vielen Dank
08.06.2014, 22:50	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \vec{v_0} \end{eqnarray}$ dein Zustandsvektor und $\begin{eqnarray} M'=MA \end{eqnarray}$ die neue Übergangsmatrix: Erst wird geangelt, $\begin{eqnarray} \vec{v_0'}=A\vec{v_0} \end{eqnarray}$ dann die Wanderung: $\begin{eqnarray} \vec{v_1}=M\vec{v_0'}=MA\vec{v_0}=M'\vec{v_0} \end{eqnarray}$ Daher die Reihenfolge MA und nicht AM.
09.06.2014, 13:41	mathgen	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die tolle Erklärung frank09! das hat mir wirlich sehr geholfen und war sehr gut zu verstehen Ich danke dir nochmals für deine Zeit.
09.06.2014, 16:45	mathgen	Auf diesen Beitrag antworten »
so sorry dass ich das hier nochmal aufgreife aber eine sache stört mich plötzlich wieder. Undzwar ist es die aufgabe d) und e). Ich habe bei d) die Grenzmatrix bestimmt und diese mit dem aktuellen Bestand (400 fische in jedem Teich) multipliziert. Das Ergebnis wäre für mich nun die langfristige Verteilung über die Teiche. Wenn das aber richtig ist, dann verstehe ich nicht ganz den unterschied zur Aufgabe e). Was genau soll ich da nachweisen, weil die Grenzmatrix habe ich schon eine Aufgabe vorher berechnet (Und diese gibt doch die Anteile über den bestand an?) Wäre nett wenn ich das auch so gut erklärt bekommen würde, bzw einen Tipp was genau ich in d) und e) berechnen soll! Vielen Dank
09.06.2014, 18:32	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Crossposting: http://www.onlinemathe.de/forum/Fischzucht-abituraufgabe

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