Bestimme die Funktionsgleichung für ein Polynom 4. Grades |
| 06.06.2014, 19:35 | blitz2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bestimme die Funktionsgleichung für ein Polynom 4. Grades Hallo ich muss folgende Aufgabe lösen und komme nicht richtig voran. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ein Polynom vierten Grades hat Extrema bei x = 0 und bei x = 2. Außerdem schneidet der Graph des Polynoms die y-Achse bei y = -9/2 und die x-Achse bei x = 1 und bei x = 3. Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms? Meine Ideen: Um die Aufgabe zu lösen brauche ich ja 5 Gleichungen, da es ja 5 Variablen gibt. Mein Ansatz bisher sieht wie folgt aus, aber ich komme nicht wirklich weiter. Funktionsableitungen: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f'(x)=4ax^3+3bx^2+cx+d f''(x)=12ax^2+6bx+c Extrema: Notwendige Bedingungen: f'(x)=0 Gleichung I f'(x)=4ax^3+3bx^2+cx+d=0 Ergebnisse von x werden in f''(x) eingesetzt um Hoch- oder Tiefpunkt zu ermitteln Hinreichende Bedingungen:f''(x)<>0; <0 = Hoch; >0 = Tief berechnen der zugehörigen y-Koordinate Koordinaten der Extrempunkte Ergebnisse von x werden in f(x) eingesetzt um y zu ermitteln E1 (0;?), E2 (2;?) f(x_E1)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f(0)=a0^4+b0^3+c0^2+d0+e f(0)=0+0+0+0+e f(0)=e E1 (0;e) -> E1 (0; -9/2) f(x_E2)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f(2)=a2^4+b2^3+c2^2+d2+e f(2)=16a+8b+4c+2d+e Graph schneidet y-Achsen bei -9/2 Bedingung: f(0)=ys Pys (0; -9/2), Gleichung II f(x_Pys)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f(0)=a0^4+b0^3+c0^2+d0+e=-9/2 f(0)=e=-9/2 e=-9/2 Graph schneidet x-Achse bei x = 1 und x = 3: Bedingung: f(x)=0 N1 (1;0), N2 (3;0) Gleichung III f(x_N1)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f(1)=a1+b1^3+c1^2+d1+e=0 f(1)=a+b+c+d+e=0 Gleichung IV f(x_N2)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f(3)=a3^4+b3^3+c3^2+d3+e=0 f(3)=81a+27b+9c+3d+e=0 Ich weiß nicht wie ich zu den variablen a-d komme. Und mir fehlt dazu glaube ich noch eine Gleichung. Ich hoffe ihr könnt helfen. |
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| 06.06.2014, 20:35 | Incognita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Bestimme die Funktionsgleichung für ein Polynom 4. Grades
Die Gleichungen, die ich stehengelassen habe, sind richtig und helfen bei der Lösung. Bei den Ableitungen ist ein Fehler passiert (rot markiert). Für die Extrema hast du zwar die notwendige Bedingung aufgeschrieben, dann aber f(x) verwendet, obwohl du die y-Koordinate nicht kennst. Das hilft also nicht. Nutze die notwendige Bedingung für die Extrema, um die fehlenden zwei Gleichungen aufzuschreiben. EDIT: Das Thema sollte wohl in die Schulmathematik. Kann das jemand verschieben? |
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| 06.06.2014, 21:09 | blitz2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Bestimme die Funktionsgleichung für ein Polynom 4. Grades Hallo Incognita, danke für den Hinweis auf den Ableitungsfehler. Dann sind also die 5 Gleichungen die ich benötige die folgenden: I f'(0)=4ax^3+3bx^2+2cx+d=0 f'(0)=d=0 II f'(2)=4ax^3+3bx^2+2cx+d=0 f'(2)=32a+12b+4c+d=0 III f(0)=e=-9/2 IV f(1)=a+b+c+d+e=0 V f(3)=81a+27b+9c+3d+e=0 |
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| 06.06.2014, 21:14 | Incognita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt stimmt alles 
Wenn du nun d und e in II, IV und V einsetzt, erhältst du ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Welches Lösungsverfahren verwendet ihr (Gauß, Taschenrechner)? |
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| 06.06.2014, 21:38 | blitz2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir dürfen keinen Taschenrechner benutzen, dann wird es wohl Gauß werden. Vielen Dank für deine Hilfe und noch einen schönen Abend. |
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| 06.06.2014, 21:41 | Incognita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen. Demnach kommst du jetzt allein weiter. 
Du kannst gern noch deine Ergebnisse posten, wenn du magst. Ansonsten auch dir einen schönen Abend. 
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| 06.06.2014, 22:55 | blitz2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich hab jetzt raus: f(x)=-2 1/4 x^4+18x^3-36x^2-9/2 |
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| 06.06.2014, 23:11 | Incognita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt leider nicht. 
Das ist der Graph deiner Funktion: Schreibe mal dein LGS und eventuell den ersten Schritt auf. |
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| 06.06.2014, 23:15 | blitz2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier die ersten 3 Schritte a b c d e IV 1 1 1 0 -9/2 0 *2 V 81 27 9 0 -9/2 0 *2 II 32 12 4 0 0 0 I 0 0 0 1 0 0 III 0 0 0 0 1 -9/2 *2 a b c d e IV 2 2 2 0 -9 0 V 162 54 18 0 -9 0 /9 II 32 12 4 0 0 0 /4 I 0 0 0 1 0 0 III 0 0 0 0 2 -9 a b c d e IV 2 2 2 0 -9 0 V 18 6 2 0 -1 0 -9*IV II 8 3 1 0 0 0 -4*IV I 0 0 0 1 0 0 III 0 0 0 0 2 -9 |
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| 06.06.2014, 23:26 | Incognita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem scheint darin zu liegen, dass du die Unbekannte teilweise einsetzt, sie in der verkürzten Schreibweise wieder als Unbekannte mitziehst und ihnen damit einen Faktor zuweist, den sie gar nicht haben. Zum Beispiel die erste Zeile (Gleichung IV): a+b+c+d+e=0 Ohne Einsetzen verkürzt: 1 1 1 1 1 |0 Mit Einsetzen: a+b+c+0-9/2=0 a+b+c=9/2 Verkürzt: 1 1 1 |9/2 |
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| 07.06.2014, 00:33 | blitz2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, auf ein neues: f(x)=1/2 x^4-4x^3+8x^2-9/2 Ich glaube jetzt passt es. Danke für deine Hilfe. |
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| 07.06.2014, 00:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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Ja, so stimmt es |
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