Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz (Bitte um Überprüfung)

07.06.2014, 10:18	MatheErsti123	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz (Bitte um Überprüfung) Hallo, ich sitze wieder Mal an einer Aufgabe in Stochastik, bei der ich zwar eine Lösung habe, mir allerdings überhaupt nicht sicher bin, ob diese richtig ist. Deshalb bitte ich euch, meine Lösung zu überprüfen. (Die Aufgabe befindet sich im Anhang, es geht mir nur um Aufgabe 28. Die anderen beiden habe ich nur hinzugefügt, da auf diese verwiesen wird). Die erwähnte 20 ii) besagt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (x_k-c)^2 =\sum\limits_{k=1}^n (x_k-\bar{x})^2 + n(\bar{x}-c)^2 \end{eqnarray}$ Meine Lösung(-sidee): 28 a) z.z. $\begin{eqnarray} \frac{\sigma^2_n}{\sigma} \rightarrow 1 \Longleftrightarrow \sigma^2_n \rightarrow \sigma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma^2_n=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (x_k-\bar{x})^2=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (x_k-\mu)^2-(\bar{x}-\mu)^2 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \bar{x}=\mu \Rightarrow (\bar{x}-\mu)^2 \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ Und somit gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (x_k-\mu)^2-(\bar{x}-\mu)^2=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (x_k-\mu)^2= \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n}(x_k-\mu)^2 \end{eqnarray}$ Da der Erwartungswert als die Summe über die Gewichte definiert ist folgt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n}(x_k-\mu)^2=E[(x_k-\mu)^2]=\sigma^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{\sigma_n^2}{\sigma^2} \rightarrow \frac{\sigma^2}{\sigma^2} =1 \end{eqnarray}$ b) Durch Umformen erhält man für $\begin{eqnarray} P(\mu \in I_n) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \bar{x_n}-\frac{1,96}{\sqrt{n} } \sigma \leq \mu \Longleftrightarrow \sqrt{n}(\frac{\bar{x_n}-\mu}{\sigma} ) \leq 1,96 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{x_n}+\frac{1,96}{\sqrt{n} } \sigma \geq \mu \Longleftrightarrow \sqrt{n}(\frac{\bar{x_n}-\mu}{\sigma} ) \geq -1,96 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow P(\mu \in I_n)=P(\sqrt{n}(\frac{\bar{x_n}-\mu}{\sigma} ) \in [-1,96,1,96])=P(-1,96\leq \sqrt{n}(\frac{\bar{x_n}-\mu}{\sigma} ) \leq 1,96) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =P(-1,96\leq \frac{1}{n} \frac{\sum\limits_{k=1}^n (x_k) -n\mu}{\sigma}\sqrt{n} \leq 1,96) =P(-1,96\leq \frac{1}{\sqrt{n} } \frac{\sum\limits_{k=1}^n (x_k) -n\mu}{\sigma} \leq 1,96) \end{eqnarray}$ Und laut zentralem Grenzwertsatz gilt dann: $\begin{eqnarray} P(-1,96\leq \frac{1}{\sqrt{n} } \frac{\sum\limits_{k=1}^n (x_k) -n\mu}{\sigma} \leq 1,96)\rightarrow P(-1,96\leq Z\leq 1,96)\approx 0,95 \end{eqnarray}$ , da Z standardverteilt ist. Nach 26 und 28 i) ( $\begin{eqnarray} \sigma_n \rightarrow \sigma \end{eqnarray}$ ) gilt: $\begin{eqnarray} P(\mu \in J_n)\rightarrow P(\mu \in I_n)\rightarrow P(-1,96\leq Z\leq 1,96)\approx 0,95 \end{eqnarray}$ Vielen Dank schonmal, dafür dass ihr euch die Mühe macht das zu lesen

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