Benötige Hilfe bei ein paar Logikaufgaben

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Beny Auf diesen Beitrag antworten »
Benötige Hilfe bei ein paar Logikaufgaben
Meine Frage:
Guten Tag. Ich habe hier 3 Aufgaben, bei denen ich Hilfe benötige. Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich an diese Aufgaben am besten ran gehen soll und wie man sie dann letztendlich korrekt löst. Aber erstmal zu den Aufgaben.

1) Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für alle mit gilt



2) Sei und , zeigen Sie durch vollständige Induktion:
Für alle n mit und gilt

3) Zeigen Sie durch Angabe einer bijektiven Abbildung, dass { } abzählbar unendlich ist.


Vielen Dank schonmal im Voraus!





Meine Ideen:
Meine Ansätze soweit

1)Hier habe ich für den Induktionsanfang n zunächst durch k ersetzt und im weiteren Schritt dann durch k+1

IA:

IS: (das "+1" am anfang muss eigentlich noch mit auf das summenzichen, wusste leider nicht, wie man das macht)

Mein problem hier ist das Auflösen und wie man letztendlich auf eine allgemeingültige Beweisführung kommt.

2) Hier weiß ich leider erstmal gar nicht weiter, also wie ich hier am besten anfange und auch auf ein Ergebnis komme

3) Leider weiß ich nicht, wie ich meinen Ansatz dazu hier am besten visualisieren sollte.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde vorschlagen, dass wir die 1) Aufgabe in diesem Thread bearbeiten und du für die beiden anderen jeweils einen anderen Thread eröffnest.

Dein Induktionsanfang ist nicht wirklich einer. Außerdem ist es ziemlich egal ob du mit einem n oder k rechnest.
Beim Induktionsanfang zeigst du, dass diese Ausdrücke für i=1 übereinstimmen. Das rechnet man einfach aus. Und im Induktionsschritt zeigst du dann, dass es auch für k+1 gilt. Dazu benutzt du dann die Induktionsvoraussetzung.

Wenn du mehr mit Latex "hochstellen" möchtest, dann musst du geschweifte Klammern um den Ausdruck setzen ^{k+1}

Um jetzt den Beweis zu beenden musst du eigentlich nur solange umformen bis du auf den Ausdruck kommst.

 
 
Beny Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Schnelle Antwort.

Wie würde dann der Induktionsanfang genau assehen?



Ich würde erstmal das Summenzeichen auflösen. (Ich bin mir hier schon gar nicht mehr sicher, ob das so überhaupt stimmt)



Könnte ich mit diesem Ansatz am IA überhaupt weiterrechnen?

Und zu welchem Forenbereich sollte ich mich mit den anderen beiden Aufgaben am besten wenden?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden Aufgaben gehören eher in die Analysis und behandeln beide vollständige Induktion.
Die Aufgabe 3) haben wir eher in linearer Algebra gemacht, aber da kann man wohl nicht wirklich kategorisieren wo das hingehört. Das macht man wohl überall, so wie auch die vollständige Induktion überall ihre Finger im Spiel hat. Im Grunde ist es auch Nebensächlich in welchem Bereich es steht.

Es geht dabei eher darum, dass der Thread nicht so überladen mit Aufgaben ist und man nicht parallel an 3 Baustellen gleichzeitig arbeitet. Das ist nur verwirrend und unübersichtlich.

Zum Induktionsanfang:

Hier setzt du einfach einen n-Wert ein. Am besten den kleinst möglichen für den es passt.
Da n>0 sein soll, fange einfach mit n=1 an.

Dann muss



sein.
Was du nun prüfen musst ist ob dies stimmt, oder ob



Dann würdest du es gegebenenfalls mit n=2 probieren usw.

Ist aber auch ein wenig mit Vorsicht zu genießen. Zum Beispiel wenn du das hier mit Induktion zeigen möchtest:

Beny Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Also der Induktionsanfang wäre dann

IA: für n=1









Nachdem das ja bewiesen ist, kann ich zum Induktionsschritt weiter gehen

IS: n=n+1



Hier muss ich sagen, dass ich quasi gar nicht weiß, wie ich jetzt weiter mache. Ich habe das jetzt mal so versucht













Aber ich glaub, dass mich das nicht wirklich weiter bringt...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dein Induktionsschritt passt nicht. Es geht hier auch nicht darum eine Gleichung zu lösen. Du sollst zeigen, dass du den Summenausdruck

so vereinfachen kannst, dass du am Ende (k+1)^2 erhältst. Es direkt als Gleichung hinzuschreiben wäre zwar nicht falsch, aber ich finde das eher verwirrend.

Formuliere einmal die Induktionsvoraussetzung. Was gilt für festes, aber beliebiges n?
Wie veränderst du die obige Summe um die Induktionsvoraussetzung einsetzen zu können?
Beny Auf diesen Beitrag antworten »

Die Induktionsvoraussetzung ist ja die Annehmen, dass wenn die Behauptung für ein festes n gilt, es auch für n+1 gilt.

also bei

wenn gilt, muss auch gelten
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Jein.

Der erste Teil passt.
Für festes aber beliebiges wissen wir, dass

ist.

Aber dein zweiter Teil ist falsch.

Diesen Zusammenhang wollen wir für den Induktionsschritt ausnutzen.
Forme die Summe also so um, dass du auf obige Form kommst und du n^2 einsetzen kannst.
Bney Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber ich steh hier gerade echt aufm Schlauch.

Ich hab das jetzt mal so eingesetzt, wie wir es in einer Übungstunde an einem ähnlichen Beispiel gemacht haben.

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig.



Nun verwende die Induktionsvoraussetzung.
Was gilt nochmal für



?

Danach musst du nur noch zusammenfassen.
Beny Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür gilt



Also quasi

?

Ich tu mich gerade nur schwer das Summenzeichen dann aufzulösen. Ist das dann einfach ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nur der oben genannte Summenausdruck nach Induktionsvoraussetzung gleich n^2



Ich ziehe die Summe auseinander um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können.



Ich habe die Induktionsvoraussetzung angewandt und in den verbliebenen Summenteil einfach i=n+1 eingesetzt. Diese Summe bestand ja nur aus dem (n+1)tem Summanden.

Klar?

Fasse nun zusammen und sieh genau hin. Dann bist du fertig.
Beny Auf diesen Beitrag antworten »



und

und damit wäre das ja bewiesen?

Also nochmal zum zusammenfassen

IA: für n=1









IS:








Und damit wäre das ganze bewiesen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Ich würde an deiner Stelle aber noch die Induktionsvoraussetzung als kleinen Satz einschieben, nach dem Induktionsanfang.

IV:

Für festes, aber beliebiges mit n>0 gelte



Im Grunde gilt die Formel aber auch für n=0.

Im Induktionsschritt ist es eigentlich schöner hier

die 1. binomische Formel zu erkennen und es dann als zu schreiben, womit der Schritt beendet ist.

Noch irgendetwas an der Aufgabe unklar?
Beny Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem ich es jetzt nochmal leserlich aufgeschrieben habe, habe ich alles verstanden.

Vielen vielen Dank für die Hilfe!

Da der Thread hier jetzt schon offen ist und ich in der zwischen Zeit an der 3) gearbeitet habe, wollte ich nur fragen, ob mein Ergebnis vielleicht schon richtig ist (dann muss ich eventuell nicht extra einen neuen Thread öffnen)

3) Zeigen Sie durch Angabe einer bijektiven Abbildung, dass { } abzählbar unendlich ist.

Bijektive Abbildung







Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der Aufgabe 1) könntest du dir auch noch einmal dieses kurze Video angucken, was die selbe Aufgabe behandelt.

Klick

Du meinst wohl eher sowas:



Ja, dies ist als bijektive Abbildung von den ganzen Zahlen auf die natürlichen Zahlen geeignet.
Deine Abbildung sollte nur von gehen.

Und wie gesagt, stelle die Aufgaben am besten in einem anderen Thread. Dann auch mit einem treffenderem Titel als "Logikaufgaben". Vor allem weil diese Aufgabe mit der 1) inhaltlich wenig zu tun hat.
Beny Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau das meinte ich. Ich bin mit der Formatierung hier nur noch nicht vertraut.

Vielen Dank nochmal für die ganze Hilfe.

Ich werde an Aufgabe 2 mal selber rumrechnen und gegebenenfalls einen neuen Thread öffnen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.

Bei der Aufgabe zwei handelt es sich um die Bernoullische Ungleichung.
Das Prinzip bei der vollständigen Induktion ist eigentlich immer das selbe. Bei Ungleichungen ist jedoch nach Abschätzungen gefragt.
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