Minimale Distanz zwischen Fläche und Punkt mit Lagrange

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Sirius89 Auf diesen Beitrag antworten »
Minimale Distanz zwischen Fläche und Punkt mit Lagrange
Meine Frage:
Hallo

Ich habe folgende Aufgabe erhalten:

Bestimmen Sie mit Hilfe der Mehode von Langrange den Punkt auf der Fläche F:x^2+y^2-z^2=1 welcher minimalen Abstand zum Punkt P(1,-1,0) hat. Berechnen zudem diesen kleinsten Abstand.



Meine Ideen:
Als Funktion d(x,y,z) habe ich gewählt ((x-1)^2+(y+1)^2+z^2)^(1/2) gewählt

Als Nebenbedingung habe ich die Flächengleichung gewählt.

Anschliessend erhalte ich Folgende Gleichung
F(x,y,z,Lambda)=((x-1)^2+(y+1)^2+z^2)^(1/2)+Lambda*(x^2+y^2-z^2-1)

Anschliessend mach ich die 4 Ableitungen nach Fx, Fy, Fz und Flambda.

Ist das Vorgehen bis dahin korrekt?
Und kann ich anschliessend mit den 4 Gleichungen das System auflösen?

Danke für eure Hilfe.

Gruss
Fabian
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Wink

aus der Funktion hast du ja vier unabhängige Gleichungen gewonnen und es sind vier Unbekannte zu bestimmen. Daraus kann man im Allgemeinen die Stelle des Extremwertes berechnen. Aber das ist erst mal nur eine notwendige also keineswegs hinreichende Bedingung!

Wenn wir uns die Fläche und über(unter) der xy-Ebene denken und dazu noch den Punkt betrachten, muss es einen Punkt auf oder geben, der vom Punkt den kleinsten Abstand hat. In solchen Fällen ist die Existenz eines Lösung (in diesem Fall eines Minimums) also sicher.
Sirius89 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm

Ich kann dir leider nicht ganz folgen, was ich als nächste Schritt tun sollte.
Leider ist Mathe nicht unbedingt meine stärke.
Kannst Du vieleicht Stichpunktartig aufschreiben wie du vorgehen würdest?
Das würde mir schon sehr weiter helfen.


Danke vielmals
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

naja, meine Ausführungen waren eher als allgemeine Überlegung gedacht.



grundsätzlich gilt die notwendige Bedingung:

also









das sind die vier Gleichungen mit vvie Unbekannten. also erst mal ableiten und gucken wie man es lösen kann, also was man wo am besten eliminieren kann etc. ... es handelt sich ja im Allgemeinen um ein nichtlineares Gleichungssystem, was man praktisch meist nur noch mit numerischen Methoden lösen kann. Bei den "Schulaufgaben" geht es aber auch meist so. Nun muss du also erst mal ableiten und weiter schauen Augenzwinkern .


Grüße
Sirius89 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Genau diese Überlegung habe ich mir auch gemacht.
Jedoch beim Auflösen des Gleichungssystems mit den Ableitungen ergibt es mir keine logische Lösung.

Ich hatte eine fast identische Aufgabe zuvor, welche jedoch Anstelle der Fläche eine Ebene hatte und vom Ursprung aus geht.
Diese war kein Problem.

Die Überlegung mit der Distanz, also der Teil mit der Wurzel, ist der korrekt unter Einbezug des Punkt P?

Oder muss man bei der Fläche anders vorgehen?

Was wir jetzt noch probiert haben ist das ganze Lösungssystem in den Taschenrechner einzugeben und erhalten die Punkte P(-(2)^(1/2)/2traurig 2)^(1/2)/2;0) und P((2)^(1/2)/2;--(2)^(1/2)/2;0). Und diese scheinen zu Stimmen, da man diese in der Flächengleichung einsetzten kann, und diese aufgeht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was der Taschenrechner kann, kannst du es selbst in diesem Fall auch:
Das System






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Gehe damit in die NB; kannst du dies nun fertig lösen?

mY+
 
 
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