Majoranten, Minorante

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07.06.2014, 14:52	eulechen	Auf diesen Beitrag antworten »
Majoranten, Minorante Meine Frage: Also man soll verschiedene Reihen auf Konvergenz überprüfen. Das soll man tun, indem man pro Reihe eine passende Majorante oder Minorante angibt. Ich habe jetzt folgende Reihen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3k+21}{\sqrt{k \cdot (k^2+1)} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: so bei der ersten Reihe gehe ich davon aus, das sie konvergent ist und das die Eulersche Zahl als Ergbnis rauskommt, aber wie mache ich das mit den MAjoranten und den Minoranten? Wie schreibe ich das auf. Die Frage bezieht sich dann auch auf die zweite Reihe. Wenn ich das richtig verstanden habe strebt eine Majorante gegen null (Konvergent) und eine minorante gegen unendlich (diveregent). Aber wie genau ich das aufschreiben muss, weiß ich nicht. ICh hoffe, es kann jemand Licht ins dunkele bringen. Danke schon Mal im vorraus.
07.06.2014, 15:19	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht weißt du ja, dass $\begin{eqnarray} k!\geq 2^k \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\geq 4 \end{eqnarray}$ Das könntest du verwenden um eine Majorante anzugeben. Beachte hierbei insbesondere, dass die Abschätzung nicht für alle k gilt.
07.06.2014, 23:52	eulechen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, mein Problem ich habe gar keine Ahnung, wie ich das mathematisch aufschreiben soll.
07.06.2014, 23:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du was aufschreiben möchtest?
08.06.2014, 10:52	eulechen	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja mir ist das nicht ganz klar wie mache ich das mit den Majoranten und den Minoranten machen soll. Wie schreibe ich das auf. Die Frage bezieht sich auf beide Reihen. Wenn ich das richtig verstanden habe strebt eine Majorante gegen null (Konvergent) und eine minorante gegen unendlich (diveregent). Aber wie genau ich das aufschreiben muss, weiß ich nicht.
08.06.2014, 11:37	Steggesepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ich es verstehe ist eine Majorante eine Reihe, welche stärker/schneller als die Minorante steigt. Wenn also die Majorante Konvergiert, kann man davon ausgehen, dass die Minorante ebenso konvergieren muss, da sie in jedem Punkt geringer steigt und deshalb nie größere werte als die konvergierende Majorante erreichen kann. Umgekehrt, wenn du weißt, dass die Minorante divergent ist, muss gezwungenermaßen die Majorante ebenso divergieren, da diese ja eine schneller steigende Reihe ist und immer größer sein wird/muss als die divergierende Minorante. Wenn du nun herausfindest, dass die Minorante konvergiert, ist jedoch nicht sicher zu sagen, dass die Majorante auch konvergiert. Genauso umgekehrt, wenn die Majorante divergiert ist das nicht der Beweis dafür, dass die Minorante divergiert. Allgemein also benutzt man die Majorante um eine konvergenz zu beweisen (dann muss die minorante definitiv auch konvergieren) oder man prüft die Minorante auf divergenz, dann muss die Majorante ebenso divergieren. Sollte so passen. Grüße
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08.06.2014, 12:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
@eulechen: Eine Majorante muss nicht gegen Null konvergieren. Hauptsache ist, dass sie konvergiert. Ansonsten habe ich für die erste Reihe ja bereits eine Abschätzung angegeben die du verwenden könntest. Was hast du damit bisher angestellt? Zeig einmal wie weit du bisher gekommen bist.
09.06.2014, 14:30	eulechen	Auf diesen Beitrag antworten »
also für die erste habe ich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!}\geq \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ das geht gegen Null. $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ n Element N Unendlichfolge $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_{n} } \end{eqnarray}$ positive Nullfolge $\begin{eqnarray} a_{n} = 2^k \end{eqnarray}$ strebt gegen unendlich und $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_{n} } = \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ strebt gegen Nulll Für die zweite Reihe habe ich: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3k+21}{\sqrt{k \cdot (k^2+1)} } \end{eqnarray}$ < $\begin{eqnarray} \frac{3n + 21}{\sqrt{n^2} } < \frac{3n + 21}{n} = \frac{n}{n} \cdot \frac{(3+\frac{21}{n}) }{1} \end{eqnarray}$ das strebt gegen 3. $\begin{eqnarray} 3 + \frac{21}{n} \end{eqnarray}$ ist konvergent
09.06.2014, 14:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass uns erstmal nur auf die erste Reihe beschränken. Was möchtest du mit deinem obigem Weg bezwecken? Es ist $\begin{eqnarray} k!\geq 2^k \end{eqnarray}$ Dann ist aber $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ Wenn bei einer Ungleichung die Kehrwerte gebildet werden, dann dreht sich das Relationszeichen um, wie als würdest du mit einer negativen Zahl multiplizieren/dividieren. Diese Ungleichung gilt aber nur wenn $\begin{eqnarray} k\geq 4 \end{eqnarray}$ allerdings können wir die Reihe dennoch abschätzen.
09.06.2014, 14:57	eulechen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} k!\geq 2^k \end{eqnarray}$ Dann ist aber $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ ok, dass ist logisch. Aber dennoch ändert sich doch nichts an der Grundaussage, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist und somit die Reihe konvergent ist. Ansonsten habe ich keine Ahnung, wie man weiter vorgehen soll.
09.06.2014, 15:04	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} (a_k)=\frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ ist eine Nullfolge, aber dies ist ja auch im Grunde erstmal nur hinreichend, dass eine Reihe konvergiert. Das Standard Gegenbeispiel ist hier nun mal die harmonische Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ ist zwar eine Nullfolge, aber die Reihe divergiert, wie du bestimmt weißt. Außerdem weißt du bestimmt, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ eine konvergente Reihe ist, weil dies eine geometrische Reihe ist. Das "Grundgerüst" der Abschätzung ist hier also so: $\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{k!}\leq \sum \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ Die Grenzen habe ich mal weggelassen, denn die obige Abschätzung gilt erst für $\begin{eqnarray} k\geq 4 \end{eqnarray}$ , das heißt da musst du noch einen "Ausgleichsterm" finden, damit die Abschätzung auch wirklich immer gilt.
09.06.2014, 16:13	eulechen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dass mit den $\begin{eqnarray} k\geq 4 \end{eqnarray}$ habe ich mir jetzt verdeutlicht. ISt mir nun auch klar. Ich habe nun folgende Gedanken: Alle Werte von $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ mit Ausnahme von k=1,2,3. Dementsprechend muss $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ so verändert werden, dass auch die ersten Folgeglieder größer sind als die von $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ meine Erweiterungen für [/latex] $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray}$ sind: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^k}+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{4}{2^k} \end{eqnarray}$ , wobei ich letztere favorisiere.
09.06.2014, 16:31	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, diese modifizierung würde Funktionieren, wobei du dadurch eine nicht ganz so scharfe Abschätzung für die Summe bekommst. Du hast nun also: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}\leq\sum_{k=1}^\infty \frac{4}{2^k} \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nur noch zeigen, dass die letzte Summe konvergent ist. Das ist einfach.

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