Textaufgabe zum Thema Funktionen

07.06.2014, 14:54

blitz2

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Textaufgabe zum Thema Funktionen

Meine Frage:
Hallo,

ich muss die folgende Aufgabe lösen.

Eine Studentin möchte möglichst schnell mit dem Auto vom Punkt A aus (auf einem Acker) die Hochschule C erreichen. Dazu fährt sie gemäß Skizze zunächst vom Ausgangspunkt A querfeldein mit der konstanten Geschwindigkeit v1. Sie gelangt dann bei Punkt B auf eine asphaltierte Straße und fährt dort mit der konstanten Geschwindigkeit v2 (v2 > v1) weiter bis zur Hochschule C.

Wo muss ? in Abhängigkeit von a, v1 und v2 ? die Studentin die Straße erreichen (wie groß muss also x sein), damit die Fahrtzeit insgesamt minimal wird?
Hinweis: b sei so groß, dass der optimale Punkt B auf jeden Fall links von C liegt.

Meine Ideen:
Leider habe ich keine Idee für einen konkreten Lösunsgansatz.
Habe vielleicht an eine trigonometrische Funktion oder an das Bestimmen der Momentangeschwindigkeit gedacht, aber ich bin noch etwas verloren.
Falls jemand eine Idee für einen Ansatz hat, wäre das super.

07.06.2014, 16:51

Incognita

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Stelle mithilfe der Grundformel v=s/t (umformen!) einen Term auf, der die Gesamtzeit angibt.

Drücke die Strecken mithilfe von x aus. Üblicherweise verwendet man bei der Lösung hier den Satz von Pythagoras und kommt auf eine Wurzelfunktion.

Kannst du nun eine Funktion in Abhängigkeit von x aufstellen?

(Ist das wirklich Hochschulmathematik? Ich kenne diese Aufgabe aus dem LK Mathe an der Schule.)

07.06.2014, 17:53

blitz2

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Okay, ich versuch das mal. Danke für den Hinweis.

(Ist zumindest Hochulmathematik für ein Fernstudium, aber gut möglich, dass es in der Schule schon mal durchgenommen wurde. Hatte nur GK Mathe)

07.06.2014, 21:19

Incognita

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Wenn du nicht weiterkommst, kannst du gern wieder fragen oder Zwischenergebnisse posten. Ich werde heute in Abständen vorbeischauen (spätestens gegen 11 auf jeden Fall).

Wenn ich nicht da bin, hilft dir sicher gern jemand anders.

17.06.2014, 08:48

Karl23

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Hallo ich bearbeite gerade in der Schule (Mathe LK) solch ähnliche Aufgaben und mich würde hier der Lösungsweg wirklich sehr interessieren, leider habe ich jeodoch das Gefühl, dass ich nicht weiter komme :-(

Also ich bin momentan soweit:

V = (a^2+x^2)^1/2/v1 + (b-x)/v2

Das ganze muss dann mit der Kettenformel aufgelöst werden:

V = (a+x) / v(a^2+x^2)^1/2 --> (b-x)/v2 = 0

Nun soll das ganze nach x aufgelöst werden und da komme ich auch nicht weiter, sofern die vorherigen Schritte richtig waren :-(

Vg Karl

17.06.2014, 09:01

Incognita

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Die Zielfunktion ist richtig; ich verwende mal LaTeX und ziehe einen Faktor vor:

$\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{1}{v_1} \sqrt{a^2+x^2}+\frac{1}{v_2}(b-x) \end{eqnarray*}$

Bei der Ableitung ist dann etwas schiefgegangen:
-> Mit a ist ja auch a^2 kontant -> Bedeutung für Ableitung?
-> Die Ableitung des zweiten Summanden ist nicht Null.

Zum Nullsetzen multiplizierst du am besten mit dem Nenner. Wie wird man anschließend die Wurzel los?

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17.06.2014, 09:27

Karl23

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Also der 1. Teil lautet doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a^{2}+ x^{2}}}{v_{1}} = \frac{1}{v_{1}}\left(a^{2}+ x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} = v_{1} = v_{1}^{-1}\frac{1}{2}\left(a^{2}+ x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}{2a+2x} \end{eqnarray*}$

und ok beim 2. Teil ist mir ein Fehler unterlaufen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(b-x\right) }{v_{2}} = \frac{-1\cdot v_{2}-\left(b-x\right) \cdot 0}{\left(v_{2}\right) ^{2}} = -\frac{1}{v_{2}} \end{eqnarray*}$

Richtig soweit?

17.06.2014, 09:43

Incognita

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Vorsicht mit dem Gleichheitszeichen: das würde $\begin{eqnarray*} f(x)=f'(x) \end{eqnarray*}$ bedeuten.

Die Ableitung des zweiten Summanden ist jetzt richtig. Die Quotientenregel wäre wegen $\begin{eqnarray*} v_2=\text{ Konstante } \end{eqnarray*}$ jedoch nicht notwendig gewesen.

Zum ersten Summanden:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\Bigg(}\frac{\sqrt{a^{2}+ x^{2}}}{v_{1}}\textcolor{red}{\Bigg)'} =\ldots = v_{1}^{-1} \frac{1}{2}\left(a^{2}+ x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}(\textcolor{red}{2a}+2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \text{ konstant } \Rightarrow a^2 = \text{ konstant } \Rightarrow \left(a^2\right)' = ? \end{eqnarray*}$

17.06.2014, 09:59

Karl23

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Achso $\begin{eqnarray*} \left(a^{2}\right)^{'} = 0 \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich also:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{v_{1}\sqrt{a^{2}+x^{2}} } \end{eqnarray*}$

17.06.2014, 10:14

Incognita

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Das stimmt jetzt. Freude

Freude

17.06.2014, 11:07

Karl23

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Das wirklich ein haarige Aufgabe ^^

Muss ich nicht den Extremwert bestimmen, wenn ich nach x auflösen möche?

17.06.2014, 11:13

Incognita

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Es schwirren sehr viele Buchstaben und keine Zahlen herum Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Die Reihenfolge ist eigentlich umgekehrt: weil du den Extremwert bestimmen möchtest, setzt du die erste Ableitung gleich Null und löst nach x auf.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{v_{1}\sqrt{a^{2}+x^{2}}}-\frac{1}{v_2}=0 \end{eqnarray*}$

Tipp: Bringe erst den hinteren Term auf die andere Seite und überlege, wie du die Wurzel wegbekommst (ich meine nicht als Potenz umschreiben, denn das löst das Problem nicht).

17.06.2014, 11:27

Karl23

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hmmmm... na dann bekomm ich die Wurzel doch nur weg, wenn ich alles quadriere.. ?

PS.: Danke vorab für deine Geduld :-)

17.06.2014, 11:33

Incognita

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Richtig, quadrieren führt zum Ziel. Freude

Freude

17.06.2014, 12:05

Karl23

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Ich bin jetzt auf das folgende Zwischenergebnis gestoßen:

$\begin{eqnarray*} x^{2} = \left(v_{1}\right)^{2}\cdot \left(a^{2}+x^{2} \right)\cdot \frac{1}{\left(v_{2}\right)^{2}} \end{eqnarray*}$

17.06.2014, 12:18

Incognita

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Soweit richtig.
Löse die Klammer auf und sorge dafür, dass die Summanden mit x² gemeinsam auf einer Seite der Gleichung stehen, damit du x² ausklammern kannst.

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