ML: R+ in disjunkte, jewels abgeschlossene Teilmengen zerlegen |
07.06.2014, 16:08 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ML: R+ in disjunkte, jewels abgeschlossene Teilmengen zerlegen ich sitze an einer Übungsaufgabe. Zu zeigen ist, dass es ex. zwei Teilmenge mit , und A,B jeweils abgeschlossen unter Addition. Kann mit da jemand weiterhelfen? Ich dachte erst an Q und R\Q (irrationale Zahlen), aber die scheinen ja aus irgendeinem Grunde nicht abgeschlossen zu sein. Mir drängt sich nicht unbedingt ein Beispiel auf, wo zwei positive irr. Zahlen eine positive Rationale ergeben. Es schein jedenfalls nicht klar zu sein, dass z.B. plus wieder eine irrat. Zahl ist. Wenn jetzt die Null enthielte, würde ich das Ganze in und aufteilen. Aber das ist sicher nicht so. Jemand Ideen? Grüße, M |
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07.06.2014, 16:30 | TuffTuff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: ML: R+ in disjunkte, jewels abgeschlossene Teilmengen zerlegen Es dürfen nur echte Teilmengen sein? Weil sonst ginge vielleicht: und |
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07.06.2014, 16:32 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Haha, ja gut, A und B müssen selbstredend jeweils nichtleer sein. Aber danke! M |
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07.06.2014, 22:06 | TuffTuff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich ist die Idee mit A=positive irrationale Zahlen und B = Q+ gar nicht verkehrt. Wenn man beweisen soll, dass die irrationalen Zahlen nicht unter Addition abgeschlossen sind, dann fällt jedem sofort ein: Aber wenn man nur die positiven irrationalen Zahlen betrachtet, dann fällt mir kein Gegenbeispiel zur Abgeschlossenheit bzgl. Addition ein. Ansonsten bin ich bei dieser Aufgabe auch mit meinem Latein am Ende. |
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07.06.2014, 22:09 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a,b sind irrational, die Summe rational. |
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07.06.2014, 22:13 | TuffTuff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja, dann weiß ich keine Lösung |
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07.06.2014, 22:47 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Viell geht sowas und |
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09.06.2014, 19:46 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, Danke für die Hilfe! Also dein letzter Vorschlag kann auch nicht sein, Problem ist Folgendes: ist klar, es ist aber auch , denn für x irrational ist 1-x irrational also also ist . Also leider . Sonst noch Vorschläge? |
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09.06.2014, 20:22 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, ich habe das hier mitverfolgt, ich glaube URL hat doch recht, die menge A, die er gewählt hat ist sehr raffiniert, es gilt nämlich nicht A=R^{+}, denn die differenzenmenge nimmt nicht jede beliebige reelle zahl an, wenn q nur alle rationalen zahlen, die grösser als sind, durchläuft. Alles weitere morgen gruss ollie3 |
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09.06.2014, 20:41 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das geht so wirklich nicht: Sei s>0 irrational und q>s rational. Dann ist s=q-(q-s), q>q-s, q-s irrational Edit: Ich dachte, man könnte es retten, wenn man zusätzlich fordert. |
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10.06.2014, 09:05 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja leider... Mir fällt nichts ein... Hat jemand noch eine Idee? Grüße, M |
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10.06.2014, 15:41 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nächster Versuch und wieder Dann ist |
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10.06.2014, 15:54 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, hier tritt wieder ein ähnliches problem ein. Nimm z.B. und , die sind beide element von , die summe aber nicht. . Und das grundsätzliche problem bei der sache ist, dass man nie so eine komische menge von irrationalen zahlen finden kann, so die summe von 2 elementen nie rational werden kann. gruss ollie3 |
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10.06.2014, 17:00 | martha.1981 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann nehmen wir die halt auch noch mit rein: *ERST DENKE, DANN POSTEN* Da ist quatsch, sorry |
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11.06.2014, 10:01 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Hier mein Vorschlag: Nehme dir deine liebste positive reelle Zahl , z.B. . Setze als die Menge der Teilmengen der positiven reellen Zahlen, die abgeschlossen unter Addition sind und die kein natürliches Vielfaches enthalten. ist nicht leer, da z.B. die Menge ein Element von ist. ist halbgeordnet via Teilmengenrelation. Jede Kette in hat als obere Schranke die Vereinigung über alle Kettenglieder. Nach Lemma von Zorn hat also ein maximales Element. Wähle so ein maximales Element und nenne es . Bezeichnen wir das Komplement mit . ist abgeschlossen unter Addition by definition. Nun für . Für gibt es mit , (wegen Maximalität von ), also für . Daraus folgt folgt . Details omitted. Viel Spaß damit |
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11.06.2014, 10:29 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, @louis: super, vielen dank, das ist es Ich hatte auch schon solche ähnlichen gedanken, aber der entscheidende schritt, der mir noch fehlte, war das die von dir beschriebenen mengen und ketten immer ein maximales element haben. gruss ollie3 |
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11.06.2014, 11:16 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meintest du mit "Details omitted" diese Lücke in der Argumentation? Ich stolpere gerade drüber. |
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11.06.2014, 11:59 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, z.B. da. Ich habe mir über details (Komplettlösungen gibt es hier ja nicht) eigentlich keine großen Gedanken gemacht. Wie wäre es damit: ich ersetze durch . Es gibt jedenfalls ein , , so dass . Sonst kann ich ohne Schaden zu hinzunehmen. Aber falls , dann auch jedes rationale Vielfache (angenommen , dann , für ). Also kriege ich und jetzt sollte mein Argument durchgehen. Falls noch Fehler seien sollten: sorry dafür. |
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11.06.2014, 12:41 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, soweit habe ich nicht gedacht
Das genaue Argument ist, dass additiv abgeschlossen und echt großer als ist, also , was die Darstellung impliziert. Dann sollte eigentlich alles durchgehen, beim Rest sah ich keine Probleme. |
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