2x/dx integrieren

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07.06.2014, 17:46	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
2x/dx integrieren Hallo! ich sitze vor einer Aufgabe, die ich scheinbar nicht lösen kann. Angabe: (2x)(dy/dx)+y+y^3=0 mit der Bedingung y(1)=1 Differentialgleichungen verstehe ich grundsätzlich schon, aber speziell bei dieser Aufgabe hänge ich. Meine Schritte: ich stelle die Gleichung solange um, bis alle x auf einer Seite und alle y auf der anderen Seite stehen. Das erste Zwischenergebnis wäre dann: 2x/dx = (-y-y^3)/dy Jetzt ist eigentlich der Zeitpunkt zum integrieren gekommen, jedoch habe ich keine Ahnung wie ich 2x/dx integrieren soll und auf der anderen Seite mit dy habe ich das selbe Problem. Zuerst dachte ich "partielle Integration" sei das Stichwort, doch auch mit dem kam ich nicht weiter. Ich bin um jede Hilfe dankbar.
07.06.2014, 18:06	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2x/dx integrieren Zur Kontrolle: Lautet die Aufgabe so? $\begin{eqnarray} 2x \frac{dy}{dx} +y+y^3=0 \end{eqnarray}$ ich habe erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{2dy}{-y-y^3} = \frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$ linkes Integral: Lösung durch Partialbruchzerlegung Rechtes Integral : ist ein Grundintegral ------->siehe Tafelwerk oder solltest Du auch so wissen.
07.06.2014, 18:20	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh mann, da saß ich ja wirklich mit geschlossenen Augen vor meiner Rechnung. Danke schonmal! linkes integral: 2dy/(-y-y^3) (2/-y)+(1/(-y)^3) dy Ist das so richtig? Wenn nicht, bitte korrigieren. BTW: Mit dem Formeleditor muss ich erst noch umgehen lernen.
07.06.2014, 18:29	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, das ist völlig falsch. Zuerst schaffst Du Dir das Minus vom Halse, also Zähler und Nenner (Mal Minus 1) --------> = $\begin{eqnarray} \int \frac{-2}{y+y^3} \, dy \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} -2 \int \frac{1}{y(1+y^2)} \, dy \end{eqnarray}$ Führe nun hier die Partialbruchzerlegung aus. siehe Link Punkt 2 http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=445212
07.06.2014, 19:01	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Danke für den Link. Ich bin also jetzt auf folgende "Gestalt" gekommen: 1/(y+y^3) = 1/y - y/(y^2+1) Und das muss ich jetzt integrieren, richtig? Da müsste dann folgendes als Ergebnis rauskommen: ln(y) - 0,5 ln (y^2+1) oder ist das falsch? lg
07.06.2014, 21:58	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das stimmt bis jetzt
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07.06.2014, 23:25	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdem sowohl die linke als auch die rechte Seite integriert wurde, müsste dann folgendes dastehn: -2[ln(y) - 0,5ln(y^2+1)] = [lnx] Die Grenzen entnehme ich der Nebenbedingung. Die Grenzen der linken Seite lauten von 1 bis y und die Grenzen der rechten Seite lauten von 1 bis x. Nun rechne ich "obere Grenze - unterer Grenze", was zu folgendem Ergebnis führt: -2 (ln(y) - 0,5ln(y^2+1) - (0-0,5ln(2))) = lnx An dieser Stelle brauche ich bitte Hilfe beim entlogarithmieren. Vielen Dank! (Fehler bitte korrigieren)
07.06.2014, 23:39	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
die Anfangswerte werden zum Schluß eingesetzt. also ich hab: $\begin{eqnarray} -2 ln\|y\| +ln(y^2+1)=ln\|x\|+C \end{eqnarray*}$
08.06.2014, 00:20	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist bei dir nach ln(y) ein "minus"? Und wo ist dann das 0,5 hin? Meine Rechnung müsste eigentlich stimmen oder? Bzw. wo liegt dann mein Fehler? Mein Ergebnis (ln(y) - 0,5 ln (y^2+1)) hast du ja vorher schon bestätigt. lg
08.06.2014, 10:30	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist bei dir nach ln(y) kein "minus"? Und wo ist dann das 0,5 hin? Es sollte "kein" heißen, nicht "ein". lg
08.06.2014, 10:33	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast vergessen , mit (-2) zu multiplizieren , dann kommst Du auch auf meine Berechnung.
08.06.2014, 10:50	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. zuerst vielen Dank für deine Geduld und deine ausführlichen Antworten. Du hast mir bisher schon viel weitergeholfen Ich habe jetzt die Gleichung noch einmal ein bisschen anders aufgelöst, weil das meinem Prof. scheinbar besser gefällt. Ich multipliziere (-2) nicht hinein, sondern teile nach dem Einsetzen der Grenzen durch (-2), sodass dann folgendes dasteht: ln(y) - 0,5 ln(y^2+1) + 0,5 ln2 = 0,5 lnx Und jetzt bitte ich um Hilfe, damit ich korrekt auf y auflösen kann. Bitte Danke! lg
08.06.2014, 11:16	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für Grenzen denn, und wie kommt den die Konstante +C ins Spiel? Wo hast Du den konkret was eingesetzt?
08.06.2014, 11:22	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gegeben Bedingung lautet y(1)=1. Das Integral, bei dem das "y" vorkommt, geht dann von 1 bis y und das Integral, bei dem das "x" vorkommt, geht von 1 bis x. Die Konstante "C" kann ich mir ja gleich schenken, weil es sich um ein bestimmtes Integral handelt (siehe Bedingung). So haben wir das bisher bei jeder vergleichbaren Aufgabe gemacht. Speziell bei dieser Aufgabe habe ich es meinem Prof, auch schon gezeigt und das stimmt soweit, sagt er. Dann rechne ich einfach obere Grenze weniger untere Grenze und dann dividiere ich durch (-2), dann steht dieses Ergebnis da: ln(y) - 0,5 ln(y^2+1) + 0,5 ln2 = -0,5 lnx Das muss ich nun nach y auflösen. Hier will mir mein Prof. aber nicht helfen und ich bin mir nicht sicher ob ich zuerst auf y umstellen und dann entlogarithmieren soll oder umgekehrt. lg
08.06.2014, 11:37	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ok , wenn Dein Professor das so will , können wir es so machen. Frage : Auf der rechten Seite soll da ein Minus stehen oder nicht ? -0.5 ln(x) Davor hast Du es nicht geschrieben??
08.06.2014, 11:38	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, das habe ich vorher übersehn. lg
08.06.2014, 11:52	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ln(y) -\frac{1}{2} ln(y^2 +1)=-0.5 ln(x) -0.5 ln 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(y) - ln(y^2+1)^{\frac{1}{2} } =-0.5(ln(x)+ln2)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln \frac{y}{\sqrt{y^2+1} } = -\frac{1}{2} ln(2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{y}{\sqrt{y^2+1} } =\frac{1}{\sqrt{2x} } \end{eqnarray}$ Das kannst Du nun bequem nach y auflösen.
08.06.2014, 12:04	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Von der ersten Zeile zur zweiten Zeile hast du auf der rechten Seite (-0,5) herausgehoben. Aber was hast du auf der linken Seite mit dem 0,5 angestellt? Soll das jetzt eine Wurzel sein oder hast du einfach das 0,5 hinten hingestellt? EDIT: Ja, soll eine Wurzel sein. Wie kommt man auf das? Ist das eine Rechenregel? Das verwundert mich jetzt grade lg
08.06.2014, 12:10	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind Logarithmengesetze : $\begin{eqnarray} r lna =ln a^{r} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ln a -ln b = ln (\frac{a}{b} ) \end{eqnarray*}$
08.06.2014, 12:15	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh ja stimmt ja. Vielen Dank! Du hast mir wirklich sehr geholfen. Wenn wir uns persönlich kennen würden, dann würde ich dir das nächste Bier bezahlen Ich werde mich melden, wenn wieder ein Problem auftritt. lg
08.06.2014, 12:19	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann Prost .Dann mußt Du schon ins schöne Thüringen kommen, das Land mit der tollen Bratwurst . Also melde dich, wenn Du Probleme hast.
08.06.2014, 12:21	BlackTiger_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre von Tirol ja gar nicht mal so weit weck mach ich, danke!

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