Matrix ^10 mit cayley

07.06.2014, 21:19

akamanston

Matrix ^10 mit cayley

guten abend alle,

brauche kurz hilfe. das ist jetzt wieder mal nur eine teil (das ende) der kompletten aufgabe.

ich soll die matrix $\begin{eqnarray*} G^{10} \end{eqnarray*}$ mit cayley hamilton berechnen, wenn MÖGLICH, wann ist das denn nich möglich?

dafür benötige ich das charakteristische polynom von G. das ist: $\begin{eqnarray*} -G^{3}-3G^{2}+G+3*1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G^{10} \end{eqnarray*}$ kann man ja mittels polynomdivision berechnen.
also los: $\begin{eqnarray*} G^{10}:X(G)= P(x) +Rest \end{eqnarray*}$
also es kommt irgendein polynom heraus + ein wahrscheinlicher Rest.

nun könnte ich ja nach $\begin{eqnarray*} G^{10} \end{eqnarray*}$ umformen. genauso haben wir es auch gemacht. nur habe ich hier eine entscheidende frage.

sauber umgeformt gibt das ja: $\begin{eqnarray*} G^{10}= X(G)P(x) +Rest* X(G) \end{eqnarray*}$
genau an der stelle hat aber mein tutor gesagt, dass $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest \end{eqnarray*}$ . es wurde dann gesagt, dass $\begin{eqnarray*} X(G)P(x)=0 \end{eqnarray*}$ weil, $\begin{eqnarray*} X(G)=0 \end{eqnarray*}$ ist. aber dann würde doch $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest* X(G) \end{eqnarray*}$ auch 0 ergeben?

wieso hat er den faktor beim rest weggelassen und beim anderen faktor nicht?

07.06.2014, 21:51

Cevas

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RE: Matrix ^10 mit cayley
Es liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} P(x)\equiv 0 (mod P(x)) \end{eqnarray*}$
Jeder vielfache eines Polynomes ist kongruent zu 0 modulo diesen Polynom.

Wie wenn man modulo 3 rechnen würde sind 6, 9, 12 alle 0 modulo 3.

07.06.2014, 21:54

akamanston

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RE: Matrix ^10 mit cayley
ok mit deinem weg klingt das schon sinnvoller, aber ist dann $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest* X(G) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest \end{eqnarray*}$
der tutor meine ja, dass nämlich $\begin{eqnarray*} X(G)=0 \end{eqnarray*}$ ist (hat er da vlt was verwechselt?). du sagst ja $\begin{eqnarray*} P(x)= 0 \end{eqnarray*}$

die gleichung gilt ja fix oder $\begin{eqnarray*} G^{10}= X(G)P(x) +Rest* X(G) \end{eqnarray*}$
eigentlich darf ja nur P(X)=0 werden, X(G)=0 würde ja alles kaputtmachen. aber der tutor sagte ja auch dass $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest \end{eqnarray*}$ das stimmt dann aber wohl auch nicht, oder gilt auch $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest* X(G)=Rest \end{eqnarray*}$ ????

07.06.2014, 22:37

Cevas

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RE: Matrix ^10 mit cayley
Der Tutor hat höchstwahrscheinlich recht!

Man darf sich von den Bezeichnungen nicht beirren lassen.
Das was ich geschrieben habe ist ziemlich allgemein, deshalb habe ich P(x) für einen belibigen Polynom geschrieben.
Bei dir wir modulo den charakteristischen Polynom gerechnet. Den hast du in deinem Text einfach hingeschrieben mit der Variablen G, wird aber meistens mit $\begin{eqnarray*} \chi (x) \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

07.06.2014, 22:43

akamanston

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RE: Matrix ^10 mit cayley
ich habe gerade eben ein beispiel mit ^5 von hand gerechnet und einiges festgestellt.
so eine matrix ist nur zu berechnen, WENN in dem Rest auch die matrix enthalten ist- sonst geht das nicht.

aber ausgehend von $\begin{eqnarray*} G^{10}= \chi (G) P(x) +Rest* \chi (G) \end{eqnarray*}$ stimmt da was nicht. weil mein tutor sagt, dass $\begin{eqnarray*} \chi (x)=0 \end{eqnarray*}$ ergibt.
dann nehme ich einfach mal $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest \end{eqnarray*}$ hin und NICHT $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest* \chi (x) \end{eqnarray*}$ . dann kann ich das wenigstens ausführen.... ohne es perfekt zu verstehen.

07.06.2014, 22:44

Cevas

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RE: Matrix ^10 mit cayley

Zitat:

Original von akamanston

die gleichung gilt ja fix oder $\begin{eqnarray*} G^{10}= X(G)P(x) +Rest* X(G) \end{eqnarray*}$
eigentlich darf ja nur P(X)=0 werden, X(G)=0 würde ja alles kaputtmachen. aber der tutor sagte ja auch dass $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest \end{eqnarray*}$ das stimmt dann aber wohl auch nicht, oder gilt auch $\begin{eqnarray*} G^{10}= Rest* X(G)=Rest \end{eqnarray*}$ ????

Das sollte nicht stimmen:
Überleg mal: 30:4=7 und der Rest ist 2, heißt nicht 30:7= 7+2

07.06.2014, 23:27

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RE: Matrix ^10 mit cayley
Bekommt man denn nicht durch Polynomdivision
$\begin{eqnarray*} x^{10}=\sigma(x)\chi(x)+\rho(x) \end{eqnarray*}$ mit dem charakteristischen Polynom $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ und Rest $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ und dann durch Einsetzen von G
$\begin{eqnarray*} G^{10}=\sigma(G)\chi(G)+\rho(G)=\rho(G) \end{eqnarray*}$ wegen CH? verwirrt

07.06.2014, 23:59

Cevas

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RE: Matrix ^10 mit cayley
Ja, absolut!!

Das sah bei dir aber anderes aus!

Zitat:

Original von akamanston

die gleichung gilt ja fix oder $\begin{eqnarray*} G^{10}= X(G)P(x) +Rest* X(G) \end{eqnarray*}$

11.06.2014, 17:51

RavenOnJ

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Das Interesse scheint ja abgeflaut zu sein. Trotzdem ein Gedanke dazu. (Ich nehme an, wir befinden uns in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ )

Das charakteristische Polynom ist ja
$\begin{eqnarray*} \chi(\lambda)= \lambda^3+3\lambda^2-\lambda-3=(\lambda +3)(\lambda^2-1) \end{eqnarray*}$

Polynomdivision ergibt wegen Cayley

$\begin{eqnarray*} G^{10} = p(G)\underbrace{\chi(G)}_{=0}+a(G^2-1)+1 =a(G^2-1)+1, a\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$

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