Volumenberechnung - Gleichung verstehen - Kugelkoordinaten

07.06.2014, 21:54

Steggesepp

Volumenberechnung - Gleichung verstehen - Kugelkoordinaten

Meine Frage:
Ich bin aktuell am Üben zur Mathe II Klausur, und hab aktuell Probleme, bestimmte Fragestellungen zu verstehen.

Die Aufgabe lautet, aus folgenden zwei begrenzenden Funktionen ein Volumen zu berechnen. Als Tipp ist angegeben, es in Kugelkoordinaten zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} = a^{3}x (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} = a*z(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich verstehe leider garnicht, wie ich aus der Gleichung mir die nötigen Parameter für die Kugelkoordinaten ziehen soll.

Dachte vorerst, man könne $\begin{eqnarray*} (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} r^4 \end{eqnarray*}$ ersetzen, jedoch scheint die Formel dadurch extrem umständlich zu werden.

Könnt ihr mir da einen Tipp geben, wie ich da vorzugehen habe? Möglicherweise fehlen mir einfach auch mal ein paar Beispielrechnungen zur Rechnung mit Kugelkoordinaten und solcher Gleichungen.

Danke euch schonmal vielmals.

07.06.2014, 23:47

Cevas

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RE: Volumenberechnung - Gleichung verstehen - Kugelkoordinaten
Wie lautet die Frage original???

08.06.2014, 00:06

Steggesepp

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Hi, entschuldige, wenn ich undeutlich war:

"Berechnen sie das Volumen der Körper, die durch folgende Flächen begrenzt werden"

09.06.2014, 12:45

Cevas

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Ich habe die Suche fortgesetzt:
Die erste Fläche ist eine Rotationsfläche um die positive x-Achse: In Kugelkoordinaten würde es heißen, dass
$\begin{eqnarray*} \varphi \in [0,\pi /2] \end{eqnarray*}$ .
Die zweite Fläche ist eine Rotationsfläche um die positive z-Achse:
$\begin{eqnarray*} \theta \in [-\pi /2,\pi /2] \end{eqnarray*}$
DieMantelfläche des entstehenden Volumen wird beschrieben mit der Gleichung:
$\begin{eqnarray*} z=\frac{a^2 x}{x^2 +y^2} \end{eqnarray*}$
Jetzt kann man zu den Kugelkoordinaten übergehen und den 3-fachen Integral lösen!!

09.06.2014, 18:52

Steggesepp

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Aaah ich habe die Aufgabe die ganze Zeit falsch verstanden. Ich dachte immer, man müsse aus beiden Funktionen das gemeinsam eingeschlossene Volumen berechnen.

Also einfach beide Funktionen einzeln ausrechnen, habe ich auch bei der ersten Funktion problemlos hinbekommen auf folgendem Wege:

$\begin{eqnarray*} r^4 = a^3*r*sin(\theta)*cos(\phi) r^3 = a^3*sin(\theta)*cos(\phi) r = a*(sin(\theta)*cos(\phi))^{1/3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0;\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} -\pi/2;\pi/2 \end{eqnarray*}$

Integral ausrechnen und Ergebnis passt.

Auf gleichem Wege wollte ich das zweite Integral lösen. Jedoch muss ich dann später hochpotenzierte sin*cos funktionen integrieren was zu extrem komplizierten Rechnungen führt. Ich denke da kann man vereinfachen, aber ich finde nicht heraus, wie.

Nach der Umstellung der zweiten Formel komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2) = r*sin(\theta) z = r*cos(\theta) r^4 = a*r^2*sin(\theta)cos(\theta) r^2 = a*sin(\theta)cos(\theta) r = sqrt(a*sin(\theta)cos(\theta)) dV = r^2*sin(\theta)*dr*d\theta*d\phi \end{eqnarray*}$

Das erste innere Integral, welches nach r integriert wird sieht ja folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \left[r^3/3*sin\theta)\right]_{0}^{\sqrt[]{a*sin(\theta)cos(\theta)} } \end{eqnarray*}$

wenn man das weiterrechnet wird das ein eigenartiges Integral.. mach ich da was falsch?

Danke soweit.

10.06.2014, 21:48

Cevas

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Zitat:

Original von Steggesepp

Nach der Umstellung der zweiten Formel komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2) = r*sin(\theta) z = r*cos(\theta) \end{eqnarray*}$

Du meinst bestimmt: $\begin{eqnarray*} (x^2+y^2) = r^2*sin^2(\theta) \end{eqnarray*}$
Oder?

11.06.2014, 01:07

Steggesepp

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Ja genau, hab ich nicht mehr dran gedacht, entschuldige.

11.06.2014, 01:14

Steggesepp

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Dann lautet es natürlich:

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2) = r^2*sin(\theta)^2 z = r*cos(\theta) r^4 = a*r^3*sin(\theta)^2cos(\theta) r = a*sin(\theta)^2cos(\theta) dV = r^2*sin(\theta)*dr*d\theta*d\phi \end{eqnarray*}$

Das Grundproblem, also diese hohen Potenzen, bleibt bestehen:

$\begin{eqnarray*} \left[r^3/3*sin\theta)\right]_{0}^{a*sin(\theta)^2cos(\theta)} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^3*sin(\theta)^7cos(\theta)^3}{3} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das fürs nächste Integral, bei dem ich nach theta integriere, eine sinnvolle Umstellung erreichen? Laut Formelsammlung würden da riesige Rechnungen entstehen.

12.06.2014, 18:29

Cevas

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Zitat:

Original von Steggesepp

Das Grundproblem, also diese hohen Potenzen, bleibt bestehen:

$\begin{eqnarray*} \left[r^3/3*sin\theta)\right]_{0}^{a*sin(\theta)^2cos(\theta)} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^3*sin(\theta)^7cos(\theta)^3}{3} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das fürs nächste Integral, bei dem ich nach theta integriere, eine sinnvolle Umstellung erreichen? Laut Formelsammlung würden da riesige Rechnungen entstehen.

Ich habe folgendes bekommen:
$\begin{eqnarray*} \left[r^3/3*sin\theta)\right]_{a*sin(\theta)^2cos(\theta)}^{a(sin(\theta)cos(\varphi))^{\frac{1}{3}}} \end{eqnarray*}$
Hast du vielleicht die ganze Aufgabe oder mittlerweile die Musterlösung??

12.06.2014, 19:09

Steggesepp

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Nein habe die Lösung leider noch nicht.

Wie ich sehe, hast du soeben von der ersten Aufgabe die Gleichung mit als Grenze ins Integral genommen, wieso?

Wie ich oben geschrieben habe, soll man wohl beide Funktionen für sich berechnen (das Volumen). Man soll nichts kombinieren.

Dein Integral würde das Integral aber auch nicht vereinfachen, oder? smile

12.06.2014, 19:43

Cevas

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Ich habe versucht mir die Projektionen der Flächen zu veranschaulichen. Die erste Fläche scheint mir einen Volumen zu begrenzen, dessen Radius im Kugelkoordinaten grösser ist als bei der zweiten Fläche. Zwischen beiden Flächen entsteht ein Volumen mit einem Radius, der vom Radius der zweiten Fläche bis zum Radius der ersten Fläche. (Grob gesagt). Ich bin sehr neugierig zu wissen, ob die Aufgabe jemals lösbar ist!!

20.06.2014, 22:08

Cevas

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Has du mittlerweile eine Musterlösung oder war die Aufgabe nicht lösbar???

20.06.2014, 22:47

Steggesepp

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Zitat:

Original von Steggesepp
Dann lautet es natürlich:

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2) = r^2*sin(\theta)^2 z = r*cos(\theta) r^4 = a*r^3*sin(\theta)^2cos(\theta) r = a*sin(\theta)^2cos(\theta) dV = r^2*sin(\theta)*dr*d\theta*d\phi \end{eqnarray*}$

Das Grundproblem, also diese hohen Potenzen, bleibt bestehen:

$\begin{eqnarray*} \left[r^3/3*sin\theta)\right]_{0}^{a*sin(\theta)^2cos(\theta)} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^3*sin(\theta)^7cos(\theta)^3}{3} \end{eqnarray*}$

So jetzt kommt eine hoffentlich fehlerfrei übertragene Lösung:

$\begin{eqnarray*} V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} sin(\theta)* \left [r^3/3\right]_{0}^{a*sin(\theta)^2cos(\theta)} *d\theta*d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} sin(\theta)* (\frac{a*sin(\theta)^2cos(\theta)}{3})^3*d\theta*d\phi = \frac{2}{3}*\pi*a^3 \int_0^{\pi/2} sin(\theta)* (sin(\theta)^2cos(\theta))^3*d\theta \end{eqnarray*}$

Umformen:

$\begin{eqnarray*} sin(\theta)^2 = 1-cos(\theta)^2 \frac{2}{3}*\pi*a^3 \int_0^{\pi/2} sin(\theta)* (cos(\theta)-cos(\theta)^3)^3*d\theta \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} x = cos(\theta) d\theta = \frac{dx}{-sin(\theta)} x0 = cos(0) = 1 x1 = cos(\pi/2) = 0 V = \frac{2}{3}*\pi*a^3 \int_{x0}^{x1} sin(\theta) (x-x^3)^3*\frac{dx}{-sin(\theta)} V = \frac{2}{3}*\pi*a^3 \int_{x0}^{x1} (x-x^3)^3*dx V = \frac{\pi}{60}*a^3 \end{eqnarray*}$

Am Schluss eben per Formelsammlung das Integral lösen. Die Umformung und Substitution waren der Schlüssel zum Ziel .. garnicht so ohne.

Grüße smile

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