Integralrechnung: Volumen eines Gefäßes und Höhe der Flüssigkeit

08.06.2014, 00:59

nelefant237

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Integralrechnung: Volumen eines Gefäßes und Höhe der Flüssigkeit

Meine Frage:
Hallo,

ich benötige mal wieder Eure Hilfe. Es handelt sich hier um eine (von fünf) Aufgabe(n) für das Abitur, die ich am kommenden Mittwoch einreichen muss.

Die Aufgabe: "Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=4e^{-x} \end{eqnarray*}$ soll auf dem Intervall [0;10] um die x-Achse rotieren. Dadurch entsteht ein liegendes Gefäß, das auf der linken Seite geschlossen und auf der rechten Seite geschlossen sein soll. Dieses Gefäß wird nun aufgerichtet und die Hilfe seines Volumen mit einer Flüssigkeit gefüllt. Bestimmen Sie die Höhe des Flüssigkeitstandes."

Meine Ideen:
Meine Herangehensweise an die Aufgabe wäre folgende:

1. Volumen der Funktion ausrechnen -> Problem hierbei ist, dass ich ständig falsche Ergebnisse herausbekomme. Vermutlich bilde ich die falsche Stammfunktion von e oder integriere falsch. Einige Recherchen im Internet ergeben, dass ich anscheinend die Substitutionsmethode anwenden soll, die ich leider nicht beherrsche.

2. Im Anschluss, um die Höhe des Flüssigkeitstandes herauszufinden, diese Formel anwenden: $\begin{eqnarray*} \frac{V}{2}=\pi \int_a^b \! f(4e^{-x} ) \, dx \end{eqnarray*}$

Über jeden Lösungsansatz oder Hilfe wäre ich sehr dankbar!

edit von sulo: "Hilfe für Abituraufgabe benötigt" als Titel sagt nichts über den Inhalt der Aufgabe aus, daher geändert.

08.06.2014, 01:09

DeltaX

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Hallo

Wink

Also deine 1. Herangehensweise ist schonmal gut,

aber schreibe doch mal (am besten mit dem Formeleditor) deine Rechenschritte auf;

Das Volumenintegral kann man auch ohne Substitution lösen, nachdem man ein Potenzgesetz angewendet hat smile

smile

08.06.2014, 01:32

nelefant237

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Hi

smile

Ich meinte statt Hilfe natürlich die Hälfte. Die Müdigkeit packt mich so allmählich. D

Meine Rechenschritte:

$\begin{eqnarray*} V = \pi \int_0^10 \! (4e^{-x})^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Diese 0 soll da nicht hin, sondern sie ist zum Intervall zugehörig - also 10.

Dann erst einmal quadrieren:

$\begin{eqnarray*} (4e^{-x})\cdot(4e^{-x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (16e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

Im Anschluss meine "versuchte" Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{16e^{-2x} }{-2} \end{eqnarray*}$

Im Anschluss integrieren...F(b)-F(a) und mein Ergebnis ist irgendwas mit -1,6...

Oh wei - die Potenzgesetze? Ich habe mir über die letzten Jahre ein pseudohaftes Halbwissen angehäuft. Ich bräuchte hier auch einen Hinweis...

Ein Dankeschön schon im Voraus! smile

smile

08.06.2014, 01:46

DeltaX

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Hallöchen nochmal,

das schreib ich jetzt noch vorm Schlafen Big Laugh

Big Laugh

Das mit dem Potenzgesetz hast du hier schon intuitiv richtig gemacht, also da keine Sorge.

Ich meinte das $\begin{eqnarray*} f(x)^2 \end{eqnarray*}$ , was eben bei diesem Beispiel zu dem $\begin{eqnarray*} ...e^{-2x} \end{eqnarray*}$ führte.

Alles korrekt.

Die Stammfunktion nur noch kürzen, das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nicht unterschlagen ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
und dann eigentlich nur noch

$\begin{eqnarray*} \left[-8 \pi \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{10} \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

Das mit dem -1,6.. kann ich mir nur so erklären, dass du im letzten Schritt, also das Einsetzen der oberen Grenze und anschließende Subtraktion der unteren Grenze einen kleinen Fehler gemacht hast.

Denn die Abschätzung zeigt:

Obere Grenze; setzt man $\begin{eqnarray*} x=10 \end{eqnarray*}$ in eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ein, so ist der Wert kleiner, als zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt in die selbe Funktion.

Wir haben in der Stammfunktion allerdings ja noch das "-" vor der 8 stehen.

Rechnen wir also Obere Grenze minus untere Grenze; sprich:

[kleiner negativer Wert minus ( großer negativer Wert )]

So fällt der erste kleine Wert nicht sonderlich ins Gewicht, da das "doppelte" Minus vor der Unteren Grenze einen nun positiven Wert erzeugt, der auch noch deutlich größer ist, als der Wert der oberen Grenze.

Demnach muss am Ende auch etwas positives rauskommen;

in diesem Fall rund 25,1.

In diesem Sinne, gute Nacht Wink

Wink

08.06.2014, 11:08

nelefant237

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Guten Morgen,

Danke für die schnelle Antwort zu sehr später Stunde! smile

smile

jetzt ging mir das Ganze doch etwas zu schnell! o.O

Wie kommst Du plötzlich auf $\begin{eqnarray*} \left[-8\pi \cdot e^{-2x}\right]_{10}^{0} \end{eqnarray*}$
und wie meinst Du es genau mit Stammfunktion kürzen?

08.06.2014, 12:45

nelefant237

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Hallöchen ein zweites Mal für heute smile

smile

Ich habe eben probiert den Flüssigkeitsstand auszurechnen, da ich ja von Dir oben schon die passende Stammfunktion erhalten habe.

Meinen Lösungsweg habe ich abfotografiert und als Bild im Anhang aufgelistet. Entschuldigung auch für meine Sauklaue.

Laut dem Rechenweg beträgt die Höhe des Flüssigkeitstandes 0,8cm. Könnt ihr mir bestätigen, ob der Rechenweg so richtig ist oder ob ich etwas anders machen muss?

Mit besten Grüßen,
Nelefant

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08.06.2014, 13:37

DeltaX

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Zitat:

Original von nelefant237
Hi smile

smile

Ich meinte statt Hilfe natürlich die Hälfte. Die Müdigkeit packt mich so allmählich. D

Meine Rechenschritte:

$\begin{eqnarray*} (4e^{-x})\cdot(4e^{-x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (16e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

Im Anschluss meine "versuchte" Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{16e^{-2x} }{-2} \end{eqnarray*}$ <<<<< Das hier kannst du ja kürzen, da die 16 durch 2 teilbar ist.

Im Anschluss integrieren...F(b)-F(a) und mein Ergebnis ist irgendwas mit -1,6...
.......

Beim Volumenintegral rechnet man ja $\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_0^{10} f(x)^2 dx \end{eqnarray*}$

Bei deiner Stammfunktion fehlte oben in dem Zitat nur noch das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sonst war sie ja korrekt. (Skalare [also Zahlen] darf man ja bekanntlich aus dem Integral ziehen, man darf sie nur nicht beim Endergebnis, also der Stammfunktion vergessen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Bei deiner handschriftlichen Rechnung bitte ich Dich nochmal kurz zu überlegen:

In Zeile 4 und 5. Du teilst beidseitig durch $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ , also musst du auf der Rechten Seite, wie auch auf der linken mit $\begin{eqnarray*} -\frac 1\pi \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

In Zeile 5 auf der linken Seite passt das aber nicht so ganz. Und auf der rechten Seite fällt das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ weg, soweit richtig; aber:
Du hast mit einer negativen Zahl multipliziert, eben mit
$\begin{eqnarray*} -\frac 1\pi \end{eqnarray*}$ ,

Das heißt auf deiner Rechten Seite steht folgendes:
(wenn sich das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ schon gekürzt hat, das hattest du ja schon richtig)

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {-1} \cdot [-8 \cdot e^{-2h}]~~ \Leftrightarrow ~~(-1) \cdot [-8 \cdot e^{-2h}] \end{eqnarray*}$

Minus mal Minus ergibt ja bekanntlich plus, da lag sozusagen der zweite Fehler.

Versuch das mit den Tipps jetzt nochmal zu lösen. Wink

Wink

PS: Deine Handschrift ist doch super lesbar. Freude

Freude

08.06.2014, 14:03

nelefant237

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Moinsen,

okay, jetzt begreife ich das auch mit dem -8e^-2x - herzlichen Dank! smile

smile

)

Anstelle von dividieren muss ich auf beiden Seiten multiplizieren, verstehe ich das richtig?

Ich hatte eben noch mal versucht alles durchzurechen, aber erhalte am Ende eine negative Zahl, so dass ich nicht mehr den Logarithmus ziehen kann...

Wink

Wink

08.06.2014, 14:11

DeltaX

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Naja meine alter Mathelehrer meinte zu uns; Division und das Ganze Dividieren gibt es nicht. Ebenso wie Subtraktion, die gibt es auch nicht. Über legt euch das mal...

Und naja z.T hat er ja recht smile

smile

Was ist den Subtraktion?
Eine Addition eine negativen Zahl.

Was ist die Division?
Eine Multiplikation mit dem Kehrwert der Zahl:

Teilst du eine 1 durch pi, so ist das ja das selbe, wie $\begin{eqnarray*} 1 \cdot \frac 1 \pi ~ = \frac 1 \pi \end{eqnarray*}$

Soweit klar? Big Laugh

Big Laugh

08.06.2014, 14:38

nelefant237

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Ich glaube, dass ich die Bruchregeln auch noch mal auffrischen muss Big Laugh

Big Laugh

Ich habe eben einen neuen Versuch gestartet: siehe Bild unten.

Das Problem ist, dass ich am Ende immer noch ein negatives Ergbenis raus habe. Könnte es vielleicht daran liegen, dass bei der Multiplikation mit der (-1) in der fünften Zeile auch die Werte im Exponenten positiv werden, weil minus mal minus ja plus ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}\pi = (-1)\cdot \left[-8e^{-2x} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}\pi = \left[8e^{2x} \right] \end{eqnarray*}$

In meiner Rechnung ist der Wert im Exponent noch negativ...

08.06.2014, 15:05

DeltaX

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Also Bruchrechnung und Bruchmultiplikation solltest du dir auf jedenfall nochmal anschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

könnte es vielleicht daran liegen, dass bei der Multiplikation mit der (-1) in der fünften Zeile auch die Werte im Exponenten positiv werden, weil minus mal minus ja plus ergibt:

Wenn du eine Zahl, bzw. auch eine Funktion hast, und die mit einer negativen Zahl multiplizierst, ändert das nichts am Exponenten.

Der Exponent ist von der Einfachen Multiplikation sozusagen unbeeindruckt; er wird davon nicht beeinflusst.

Nehmen wir uns ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} e^{-2} \end{eqnarray*}$ bedeutet nichts anderes, als das deine Basis die Zahl e ist.

Das soll dich nicht verwirren, denn auch die Zahl e ist nur eine Zahl ( $\begin{eqnarray*} e \approx 2.71828... \end{eqnarray*}$ , allerdings in de Mathematik, Physik und der Natur eine so wichtige, dass man, anstatt immer ungenaue Zahlen zu schreiben, eben das Symbol $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ zugeordnet hat.

Außerdem besagt die "-2" im Exponenten, dass wir es hier mit einem Kehrwert zu tun haben, hier einige Beispiele:

$\begin{eqnarray*} 2^{-1}= \frac 12,~ 2^{-2}=\frac 1{2^2} = \frac 14,~\text {und hier}~ e^{-2x}=\frac 1{e^{2x}} \end{eqnarray*}$

Wenn du eine Basis mit einer reellen Zahl multiplizierst, also z.B. $\begin{eqnarray*} (-1)\cdot e^{-2x} = -e^{-2x} \end{eqnarray*}$ , bleibt der Exponent unverändert.

Hierzu vielleicht nochmal der Wikipedia-Abschnitt dazu.

http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze

Weiterhin ist dieser Schritt leider bei dir noch nicht korrekt vorgenommen worden:

$\begin{eqnarray*} \frac {25}2 = \pi \cdot \left[-8e^{-2x}\right]_{0}^{h} ~ |:\pi \end{eqnarray*}$

Ich meinte ja, dass die Division durch pi gleichbedeutend ist mit der Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 \pi \end{eqnarray*}$ , also kannst du jetzt rechts an den Strich

entweder: " $\begin{eqnarray*} |:\pi \end{eqnarray*}$ " oder: " $\begin{eqnarray*} | \cdot \frac 1 \pi \end{eqnarray*}$ "

schreiben, aber bitte nicht gemischt, das bringt dir nämlich nicht viel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aus

$\begin{eqnarray*} \frac {25}2 = \pi \cdot \left[-8e^{-2x}\right]_{0}^{h} ~ |:\pi \end{eqnarray*}$ wird also

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {25}{2\pi} = \left[-8e^{-2x}\right]_{0}^{10} \end{eqnarray*}$

Und hier bitte ich dich nochmal die erste Zeile der Wikipedia Tabelle anzusehen.

Wir rechnen nun mit $\begin{eqnarray*} \left[-8e^{-2x}\right]_{0}^{h} \end{eqnarray*}$ ; also "obere Grenze minus untere Grenze".

Für die obere Grenze hast du ja schon h eingesetzt, das war auch korrekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber: Setze mal die 0 in $\begin{eqnarray*} -8e^{-2x} \end{eqnarray*}$ ein, dann steht da ja $\begin{eqnarray*} -8e^0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ (!!)

Das erstmal zu den Rechenformalien... Wink

Wink

08.06.2014, 15:44

nelefant237

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Huhu,

ich habe es jetzt noch mal probiert mit deinen Tipps. Ich hoffe das Ganze seht jetzt wesentlich besser aus. Du hattest Recht...es war ungleich 0, sondern es kam eine 8 heraus...

Liebste Grüße,

08.06.2014, 15:55

DeltaX

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Hallo,

woher kommt bei dir in Zeile 5 die (-1)?

Die ist nämlich falsch und dementsprechend auch das Ergebnis, also zumindest sagen wir es mal so:

Du darfst aus einer negativen Zahl nicht den Logarithmus ziehen.

log(...) und auch ln(...) dürfen nur positive Argumente besitzen, der Taschenrechner dürfte für deinen Wert eigentlich auch kein Ergebnis anzeigen (?).

08.06.2014, 16:19

nelefant237

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Hey,

ich komme auf die Zahl (-1), weil du ganz oben geschrieben hattest:

Zitat:

Das heißt auf deiner Rechten Seite steht folgendes: (wenn sich das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ schon gekürzt hat, das hattest du ja schon richtig) $\begin{eqnarray*} \frac 1 {-1} \cdot [-8 \cdot e^{-2h}]~~ \Leftrightarrow ~~(-1) \cdot [-8 \cdot e^{-2h}] \end{eqnarray*}$ Minus mal Minus ergibt ja bekanntlich plus, da lag sozusagen der zweite Fehler.

Also das halt das obige auf meiner rechten Seite stehen soll...deswegen war ich so verwirrt. Habe das wieder rausgenommen und nun folgedes raus:

Es ist das gleiche Ergebnis wie vorhin - ich weiß nicht, warum mein Taschenrechner eine Zahl "ausgespuckt" hatte, die eigentlich im negativem Bereich war...

08.06.2014, 16:30

DeltaX

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Zitat:

Original von nelefant237
Hey,

ich komme auf die Zahl (-1), weil du ganz oben geschrieben hattest:

Zitat:

Das heißt auf deiner Rechten Seite steht folgendes: (wenn sich das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ schon gekürzt hat, das hattest du ja schon richtig) $\begin{eqnarray*} \frac 1 {-1} \cdot [-8 \cdot e^{-2h}]~~ \Leftrightarrow ~~(-1) \cdot [-8 \cdot e^{-2h}] \end{eqnarray*}$ Minus mal Minus ergibt ja bekanntlich plus, da lag sozusagen der zweite Fehler.

Also das halt das obige auf meiner rechten Seite stehen soll...deswegen war ich so verwirrt. Habe das wieder rausgenommen und nun folgedes raus:

Es ist das gleiche Ergebnis wie vorhin - ich weiß nicht, warum mein Taschenrechner eine Zahl "ausgespuckt" hatte, die eigentlich im negativem Bereich war...

Hey,

das mit der Minus eins, worauf du dich bezogen hast, hatte selber aber Bezug auf deine Rechnung von gestern, da hattest du nämlich nicht durch pi alleine sondern durch $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ geteilt.
Und dann bleibt bei $\begin{eqnarray*} \frac \pi {-\pi} \end{eqnarray*}$ natürlich eine (-1) über.

Das gilt aber eben nicht mehr wenn du nur durch pi teilst.

Rechne bitte nochmal ab hier:

$\begin{eqnarray*} \frac {25}2 = \pi \cdot [ (-8e^{-2h}) + 8] \end{eqnarray*}$

Also ab jetzt:

• Teile durch pi.
• Bringe die "+8" rüber auf die linke Seite. (Rechne also beidseitig | -8 )
• Da du nach "h" auflösen willst, musst du nun noch durch "-8" teilen [ das ist das, was vor dem e^(...) steht].
• Jetzt wirst du logarithmieren können, da auf der linken Seite eine positive Zahl stehen wird.
• Zum Schluss löst du ganz einfach nah h auf.

Ich hoffe du verstehst nun, was ich meinte. Wink

Wink

08.06.2014, 17:05

nelefant237

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Hallöchen,

langsam geht leuchtet ein Lichtlein bei mir auf! smile

smile

Ich habe eben alles mit Deinen Anweisungen berechnet und die Höhe meines Flüssigkeitsstandes beträgt 0,35cm. :-)

Ich hoffe, dass dieses Mal alles richtig gelöst worden ist! smile

smile

08.06.2014, 17:12

DeltaX

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Ich finde bei der Rechnung keinen Fehler Freude

Freude

Nur als Tipp:
Brüche ausrechnen und Werte einsetzen etc. macht man erst zum Schluss, um Rundungsfehler zu vermeiden.

Und:

Wenn du die Aufgabe abgeben musst, würde ich noch etwas genauer rechnen;
Für das Gesamtvolumen kommt ja nicht exakt 25 Volumeneinheiten heraus, sondern 25,1... also würde ich sozusagen von da an
• Das Volumen mit zwei bis drei Nachkommastellen errechnen
• mithilfe des errechneten Volumens nochmal die Füllhöhe errechnen.

Es ist bei so einer Abituraufgabe allerdings etwas unschön, mit solch krummen Zahlen zu rechnen, in der Uni hast du da meist mehr Glück, da sind Taschenrechner häufig verboten und die Zahlen lassen sich sehr gut kürzen..

Wink

Wink

08.06.2014, 17:22

nelefant237

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Lieber DeltaX,

erst einmal herzlichen Dank für deine tatkräftige Unterstützung und dass Du mir geholfen hast, die Aufgabe zu lösen!

Desweiteren auch ein Dankeschön für Deine Tipps. Ich werde sie mir zu Herzen nehmen und das Ganze noch einmal ausrechnen mit mehreren Nachkommastellen.

Und ich habe dazugelernt, dass wenn ich eines Tages auf der Uni landen sollte, auf jeden Fall darauf vorbereitet bin, dass man dort meistens keine Taschenrechner benutzen darf. smile

smile

Jetzt muss ich nur noch eine Aufgabe lösen...aber dafür werde ich einen neuen Thread eröffnen, da es diesmal in ein anderes Themengebiet reinfällt. Das mache ich nachher in aller Ruhe...

Noch einmal einen herzlichen Dank! smile

smile

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