pdgl Existenz schwacher Lösungen

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miriop Auf diesen Beitrag antworten »
pdgl Existenz schwacher Lösungen
Meine Frage:
Hallo smile

Ich komme leider bei einem Problem nicht weiter, mit dem ich mich schon seit über 12 Stunden beschäftige.

Es geht um folgendes:

Wir haben ein Randwertproblem in .
Unsere Problem ist auf mit r zwischen 0 und 1: und auf dem Rand mit r=1 gilt:
Wir sollen jetzt zeigen, dass es für keine Lösung gibt.

Meine Ideen:
Grundsätzlich versuche ich mich die ganze Zeit and Lax-Milgram. Damit hätten wir die Eindeutigkeit bzw. die Existenz bewiesen. Aber es klappt nicht. Wir hatten weder Beispiele noch sonst etwas dazu, also habe ich das Internet stundenlang nach einem ähnlichen Aufgabentypen durchforstet.
Meine Ansätze sind:
Unsere Bilinearform lautet:

Mich stört das Minuszeichen. Um das Lemma anzuwenden, muss ich noch zeigen, dass a (u,v) koerziv und beschränkt ist. Da sehe ich aber den Widerspruch zu der Bedingung, dass die Konstante echt größer als 0 ist.
Ich habe ausführlichere Notizen, aber ich finde die Symbole bei Latex nicht.
Ist das bisher richtig oder gibt es einen einfacheren Weg?
Ich weiß auch nicht, wo ich den Schritt in die Umwandlung von Polarkoordinaten einbringen soll.
Für Eure Hilfe wäre ich sehr dankbar smile
mjk231 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Du meinst bestimmt
und willst für die Randbedingung noch r ableiten?
miriop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Das Problem lautet: Laplace u = k. Kann mir jemand helfen oder einen Link zu einem anderen Thread schicken, wo ich die Methode nachlesen kann?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Hast du es mal mit der Greenschen Formel versucht?
miriop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Hallo URL,

danke für den Tipp, das habe ich davor versucht. Doch ich habe da ja eine Ableitung nach der Nomarlen und nicht nach r. Außerdem weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass sich das u, dass sich durch die Greensche Funktion darstellen lässt, keine Lösung ist.

Greensche Funktionen hatten wir noch ganz kurz.

Danke für deinen Tipp smile
miriop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Hallo smile
Ich bin jetzt nochmal den Ansatz über die Greenschen Funktionen durchgegangen.
Angenommen, u würde für alle k existieren. Dann lässt sich u mit der Greenschen Formel als Differenz aus einem Integral über Omega und einem Integral über den Rand schreiben, wobei ich jeweils die Werte k und 2 für f, g eingesetzt habe. Dann habe ich die Definition der fundamentalen Lösung eingesetzt und jetzt taucht bei mir im Integral über den Rand von Omega die Ableitung der Greenschen Funktion nach unserem Normalenvektor, r, auf. Da weiß ich aber absolut nicht, was das sein soll.
Ich habe mir meine Greensche Fkt als Zusammensetzung aus der fundamentalen Lösung und einer weiteren Funktion gebastelt, die auf dem Rand den Wert 2 annimmt.
Also hätten wir im Integral über den Rand schon mal eine 4, da g=2 multipliziert mit der Ableitung von der Greenschen Funktion nach dem Normalenvektor ebenfalls zwei ist.
Oder ist dies falsch?
Vielen Dank für Deine Hilfe smile
 
 
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Ist irgendwie spzifiziert?
Aus dem wenigen "Unsere Problem ist auf mit r zwischen 0 und 1" habe ich mir eine Kreisscheibe zusammen gereimt - offenbar zu optimistisch.

Mit Greenscher Funktion kenne ich mich nicht aus.

Edit: Damit keine Missverständnisse auftreten. Ich meine das, was bei wikipedia erste Greensche Identität heißt
miriop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Guten Morgen/ Mittag,

Omega ist nur dadurch spezifiziert, dass Laplace u = k auf .

Ich komme leider immer noch nicht weiter und die anderen Aufgaben bauen auf diesem Lösungsschema auf.

Danke, dass Du mir hilfst smile
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Aha, also doch eine Kreisscheibe. In welcher Richtung zeigt dann die Normalableitung?
Bist du übrigens sicher, dass gelten soll und nicht etwa ?

Edit: Es hindert dich übrigens nichts daran, in der ersten Greenschen Identität eine der beiden Funktionen konstant zu wählen.
miriop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Hallo URL,

ja, eine Kreisscheibe und definitv ist die Ableitung von u nach r 2. Ich habe das Blatt vor mir liegen smile
Wir sollen ja jetzt zeigen, dass es nur für k=4 eine Lösung gibt und diese explizit angeben.
Warum kann ich die Funktionen konstant wählen?
Ich kann leider auch keine Greensche Funktion angeben.
Wir hatten in der VL ein Beispiel, dass über Spiegelung funktioniert hat (die letzte Koordinate des Vektors ist 0, also ist die Randbed. für die Greensche Funktion so verarbeitet, dass sie unabhängig von dem Vorzeichen des Vektors ist). Das ist kein Problem gewesen, aber ich komme einfach nicht weiter.
Wie würdest du das denn lösen?
Echt lieb, dass du mir hilfst smile
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Ah, eingangs hieß es noch " zeigen, dass es für keine Lösung gibt.". Jetzt ist also k=4 dein Freund und die Lösung angeben sollst du auch noch unglücklich
k=4 passt immerhin mit dem zusammen, was ich herausbekommen habe.
Die erste Greenschsche Identität gilt für beliebige hinreichend glatte Funktionen. In dem Sinn kannst du also einsetzen, was du willst, auch eine konstante Funktion. Wie die andere zu wählen ist, dürfte offensichtlich sein. Damit bekommst du die Aussage über k.
Über die Lösung habe ich nicht nachgedacht.
miriop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Oh, entschuldigung, da habe ich mich anscheinend vertippt. Hammer
Die Aufgabe ist zweiteilig, aber ich wollte erst einmal den ersten Teil lösen.
Ich werde es gleich ausprobieren.
Ok, mein k ist aber 2 und nicht vier.
Ich habe die konstante Einsfunktion sowie u eingesetzt,
sodass das Integral über Omega mit Integrand k gleich dem Integral von 2 über dem Rand von Omega ist.
Dann habe ich Polarkoordinaten umgewandelt.
Wo ist mein Fehler?
Tut mir leid, das Thema ist noch echt neu für mich.
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RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Zitat:
Original von miriop
Dann habe ich Polarkoordinaten umgewandelt.

Überleg dir lieber, über welche geometrischen Figuren du da integrierst Big Laugh
miriop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Ich habe meinen Fehler gefunden. Danke
miriop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: pdgl Existenz schwacher Lösungen
Big Laugh gutes Argument Augenzwinkern
Und was sagst du zu der allgemeinen Lösung für K=4?
Ich habe mir überlegt, dass sich ja jedes u, dass das Problem löst, allgemein durch Greensche Funktionen darstellen lässt. Ich kenne mich, wie du vllt schon gemerkt hast, absolut nicht mir Greenschen Fkten aus und weiß noch weniger, wie ich sie bestimmen soll.
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