Ableitung, Kettenregel anzuwenden?

08.06.2014, 12:13

akima

Ableitung, Kettenregel anzuwenden?

Hallo zusammen,

ich habe leider Schwierigkeiten die 1. Ableitung nach c der folgenden Funktion zu bilden:

$\begin{eqnarray*} \frac{c^{1-s}) }{(1-s}+\frac{((w-c)(1+r)^{1-s} }{(1+p)(1+r)} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

Der erste Summand ist ja noch relativ einfach abzuleiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1-s)c^{-s} }{1-s} \end{eqnarray*}$ . (1-s)kann man dann kürzen und hat nur noch c^(-s).

Der zweite Summand macht mir jedoch Probleme:

Ich würde hier zunächst die Kettenregel anwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1-s)((w-c)(1+r)^{-s} (1+r)}{(1+p)(1-s)} . \end{eqnarray*}$ Auch hier kann ich wieder (1-s) kürzen und erhalte dann

$\begin{eqnarray*} \frac{((w-c)(1+r)^{-s} (1+r)}{(1+p)} \end{eqnarray*}$ . Jedoch lautet nach meine Lösungsskizze die BEO nach der gesamten Funktion:

$\begin{eqnarray*} c^{-s}= \frac{1+r((w-c)1+r))^{-s}}{1+p} \end{eqnarray*}$ .

Das scheint mir aber nicht das gleiche zu sein, da ich für die BEO die 1. Ableitung = 0 setze. Demnach müsste ein Teil der Gleichung ein negatives Vorzeichen haben, wenn meine Berechnung stimmt.

Könnte mir da vielleicht jemand helfen. Das wäre ganz lieb: smile

08.06.2014, 12:33

Bonheur

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Hier brauchst du nicht die Kettenregel anwenden. Augenzwinkern

Guck mal, wo alles das "c" ist.

08.06.2014, 17:08

akima

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Ok, das "c" steht nur einmal in dem Produkt, aber alles ist ja durch die Potenz irgendwie miteinander verknüpft, oder?

Ist hier diese Regel anzuwenden: (g(x))^n=n*(g(x))^n-1 *g'(x)? Das ist doch die Kettenregel, oder nicht?

Dann hätte ich doch folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dc}= c^{-s}+\frac{(1-s)[(w-c)(1+r)]^{-s}(-1-r) }{(1+p)(1-s)} \end{eqnarray*}$

08.06.2014, 23:00

Bonheur

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Jetzt habe ich verstanden, welche Funktion du meinst.

Ich dachte die ganze Zeit, dass du diese Funktion meinst.

$\begin{eqnarray*} y=\frac{c^{1-s}}{1-s}+\frac{(w-c)(1+r)^{1-s} }{(1+p)(1+r)} \end{eqnarray*}$

Jedoch meinst du:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{c^{1-s}}{1-s}+\frac{\textcolor{blue}{(}(w-c)(1+r)\textcolor{blue}{)}^{1-s} }{(1+p)(1+r)} \end{eqnarray*}$

Die Klammern sind ganz wichtig. Augenzwinkern

Zitat:

Original von akima

Dann hätte ich doch folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dc}= c^{-s}+\frac{(1-s)[(w-c)(1+r)]^{-s}(-1-r) }{(1+p)(1-s)} \end{eqnarray*}$

Und dass ist vollkommen richtig. Freude

09.06.2014, 10:16

akima

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Ja, ganz genau. Ich habe leider in meinem ersten Beitrag eine Klammer vergessen zu schließen... Augenzwinkern

Aber nur mal angenommen, wir hätten lediglich diese Funktion, also ohne die doppelte Klammer:

$\begin{eqnarray*} \frac{(w-c)(1+r)^{1-s}}{(1+p)(1-s)} \end{eqnarray*}$

Dann bezieht sich die Potenz nur auf den 2. Term (1+r), oder? Die Ableitung wäre also (wenn ich vorher ausmultipliziere...)

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1-r)^{-s}}{(1+p)(1-s)} \end{eqnarray*}$ .

Oder leite ich einfach "-c" ab, erhalte dafür -1 und ziehe den anderen Term als Konstante mit?? Dann käme ich ja auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1(1+r)^{1-s}}{(1+p)(1-s)} \end{eqnarray*}$ . Aber vermutlich müsste ich auch in diesem Fall die Potenz um 1 verringern, so dass ich eigentlich auf das ggleiche Ergebnis käme... Ist das richtig?

Vielen Dank nochmal im Voraus. Das ist hier wirklich eine ganz tolle Sache mit dem Forum! smile

09.06.2014, 10:53

akima

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Aber lieber wieder zurück zum Ausgangsfall. Nachdem ich nun die Ableitung bestimmt habe, muss ich das Ergebnis noch vereinfachen, d.h. nach "c" auflösen.
Ich habe diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} c^{-s}= \frac{(1+r)[(w-c)(1+r)]^{-s}}{(1+p)} \end{eqnarray*}$

Leider komme ich an dieser Stelle nicht wirklich weiter... Vermutlich muss ich zunächst irgendwie die Potenzen von "c" loswerden, also mit (-1/s) potenzieren....
Dann fiele die Potenz auf der linken Seite der Gleichung weg, oder? Aber wie bekomme ich das c aus dem rechten Teil der Gleichung auf die andere Seite?? traurig

09.06.2014, 11:26

adiutor62

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"Nachdem ich nun die Ableitung bestimmt habe, muss ich das Ergebnis noch vereinfachen"

Wie kann aus einer Ableitung plötzlich eine Gleichung werden ? verwirrt

09.06.2014, 11:41

akima

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Achso ok, ich habe vergessen zu sagen, dass es darum geht, mit der Ableitung die Bedingung erster Ordnung (BEO) aufzustellen, d.h. die Ableitung wird =0 gesetzt und kann nach einer beliebigen Variable umgestellt werden. In meinem Beispiel komme ich dann auf die Gleichung, die ich ober aufgeschrieben habe. Diese muss nun vollständig nach c aufgelöst werden...

09.06.2014, 12:04

adiutor62

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Woher stammt das c^-s auf der linken Seite ?

Diese Gleichung kann man so nicht nach c auflösen, weil c linear und als Potenz zugleich auftritt.

09.06.2014, 12:16

akima

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Ich habe vorher diese Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dc}= c^{-s}+\frac{(1-s)[(w-c)(1+r)]^{-s}(-1-r) }{(1+p)(1-s)} \end{eqnarray*}$ =0

Daraus ergibt sich diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} c^{-s}= \frac{(1+r)[(w-c)(1+r)]^{-s}}{(1+p)} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich laut Kurzlösung: beide Seiten -1/s potenzieren und die Terme die c enthalten ordnen. Das ist meiner Meinung nach ziemlich knifflig, oder?

09.06.2014, 12:42

adiutor62

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Ich würde zum Rechnen substituieren:

1+r=a
1+p=b

Damit sollte es übersichtlicher werden.

$\begin{eqnarray*} c= \frac{a^{-1/s}*(wa-ca)}{b^{-1/s}} \end{eqnarray*}$

Jetzt Zähler ausmultiplizieren, mit b^(-1/s) durchmultiplizieren, Term, der ca enthält nach links bringen, c ausklammern .... resubstituieren.

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