Reihenkonvergenz

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dudidude Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenkonvergenz
Meine Frage:
Hallo liebe User smile

' Untersuchen sie die Reihe für vier der nachstehenden fünf Folgen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
a)

b)

c)

d)

e)


Meine Ideen:
a)


Mein Ansatz: Leibnizkriterium

bei findet lediglich immer ein Vorzeichenwechsel der 1 statt, bei gerade ist es +1 und bei ungerade -1.

Z.Z ist nullfolge und monoton fallend

1.

2. da die streng monoton fallend ist,ist das kriterium erfüllt.
konvergiert.
________________________________________________________________________

b)

wurzelkriterium: keine Aussage über konvergenz oder divergenz.
________________________________________________________________________
c)

wurzelkriterium: konvergiert absolut,da
________________________________________________________________________
d)
divergiert.
________________________________________________________________________
e)

leibnizkriterium :



n gerade + und n ungerade -

Z.z ist nullfolge und monoton fallend.

1.

2. Monotonie : da im linken term der ungleichung enthalten ist , ist der linke nenner automatisch größer und so mit das ganze ding kleiner.

konvergiert.
________________________________________________________________________


danke schön für Hilfe,Anregungen und überhaupt die Mühe sich den Beitrag an zu schauen!

gruß dudidude
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo dudidudi!

zu a)

Die Reihe ist zwar konvergent und die Wahl des Leibnizkriteriums ist auch zielführend, nur stimmt deine Argumentation nicht ganz.

ist streng monton steigend und nicht fallend. ist aber streng monoton fallend. Es ist zwar offensichtlich, aber kannst du es auch zeigen?

1.
Hier verwendest du die Divergenz der Wurzel. Überprüfe, ob ihr das in der Vorlesung gemacht habt.
Außerdem passt deine Schreibweise nicht. Nur weil der Grenzwert von der Folge 0 ist, heißt das nicht, dass die Folge 0 ist!

zu b)

Da hast du dieselben Notationsfehler wie oben.
Außerdem würde die Summe ja für |1+i| < 1 konvergieren. Jetzt bleibt noch zu diskutieren, ob das denn möglich ist?

zu c)

Ich mach es dir hier vor, da du anscheinend noch Notationsschwierigkeiten hast.

Wurzelkriterium:
konvergiert absolut.

zu d.)

Was ist den mit deiner 999ten Wurzel passiert? Die verschwindet hier einfach.

zu e.)

So zeigt man aber nicht, dass eine Nullfolge ist. Schau in deinem Skriptum unter der Definition der Konvergenz von Folgen nach!
In den meisten Skripten wird sogar genau der Fall behandelt.

Zur Monotonie:

Der linke Nenner ist kleiner als der rechte, deshalb ist der linke Bruch größer.
dudidude Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ploki,

danke für deine ausführliche und konstruktive Antwort!!smile

zu a)
Zitat:
ist streng monton steigend und nicht fallend. ist aber streng monoton fallend. Es ist zwar offensichtlich, aber kannst du es auch zeigen?


I'll try: für streng monoton fallend muss gelten


aufbeiden seiten hoch zur dritten potenz = und hier ist ja offensichtlich das die ungleichung gilt, ist das so korrekt?

Zitat:
1. Hier verwendest du die Divergenz der Wurzel. Überprüfe, ob ihr das in der Vorlesung gemacht habt.
Jupp habs gefunden, aber um nochmal auf die formale Unsauberkeit einzugehen .

will sagen nicht,dass das dann nicht zu übertragen ist aufs ganze sondern nur auf diese explizite Folge.
___________________________________________________________________

b) hier hab ich ein Gefühl,das mir sagt, dass das nicht geht,jedoch hab ich keine idee mathematisch zu wider legen , dass nicht geht.

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c) vielen dank!!!!
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d) die hab ich einfach wegkürzt, wenn das überhaupt geht, weil ich dachte das ginge.

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e) mhh ich weis nicht was sie meinen bei mir im skript steht dieses beispiel nicht.....:/

sorry!!


liebe grüße
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

a) Dein Monotoniebeweis passt so.

Aber du hast wohl nicht verstanden was heißt. Wenn du das so hinschreibst, ist es falsch. Links vom "=" steht eine Menge (Folge) und rechts davon eine Zahl. Auch wenn man deine als die Nullfolge auffassen würde, wäre das in diesem Beispiel falsch.

Es kann hier nur der Grenzwert der Folge 0 sein, und nicht die Folge selber!

b) Du brauchst es nur auszurechnen. Was ist denn ?

d) Nein, das kannst du nicht so einfach wegkürzen. Versuche es mit dem Wurzelkriterium.

e)

Wenn ihr auch nie gezeigt habt, dass eine Nullfolge ist (was ich mir nicht vorstellen kann), dann musst du wirklich auf die formelle Definition der Konvergenz zurückgreifen:



Also in deinem Fall musst du zeigen:

dudidude1 Auf diesen Beitrag antworten »

b) ist ist -1 , dass wuerde heissen 1+-1=0 und das heisst absolut konvergent.

d) liefer ich nach und

e) ist doch bewiesen worden ist eine nullfolge. Das heisst ja das 1/n^2 auch eine ist denn das ist ja (1/n)*(1/n) oder?
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

b) Nein. Die Reihe divergiert. Es ist nämlich

ist also eine komplexe Zahl mit Realteil 0 und Imaginärteil 1.

Schau nach wie der Betrag einer beliebigen komplexen Zahl definiert ist und setz ein.

(Bedenke aber, gefragt ist eigentlich und nicht )

e) Ja, wenn eine Nullfolge ist, dann erst recht.
 
 
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