Erzeugende Funktion

08.06.2014, 15:57	Screw	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugende Funktion Meine Frage: Hallo, ich hoffe, mir kann jemand mit dieser Aufgabe helfen: In einem Experiment werden nacheinander Zahlen von 1 bis n aufgedeckt. Es sei $\begin{eqnarray} R_n \end{eqnarray}$ die Anzahl der Zahlen, die größer als alle bisher vorher aufgedeckten Zahlen sind, in einer rein zufälligen Permutation der Zahlen 1,2...n.(Für n=9 Z.B. wäre $\begin{eqnarray} R_n=3 \end{eqnarray}$ bei der Reihenfolge 5 2 3 7 1 6 4 9 8, die erste Zahl (hier 5) ist immer die bis dahin größte, sie wird übertrumpft von der 7, dann von der 9.) Sei $\begin{eqnarray} A_j \end{eqnarray}$ das Ereignis "j-te Zahl ist die bisher größte". Dann gilt: $\begin{eqnarray} R_n=\sum\limits_{j=1}^n 1_{A_j} \end{eqnarray}$ und es ist $\begin{eqnarray} \mathbb P(A_j)=\frac{1}{j} \end{eqnarray}$ , wobei die Ereignisse $\begin{eqnarray} A_1,...,A_n \end{eqnarray}$ stochastisch unabhängig sind. Bestimmen Sie die erzeugende Funktion von $\begin{eqnarray} R_n \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Die Definition der erzeugenden Funktion von $\begin{eqnarray} R_n \end{eqnarray}$ lautet: $\begin{eqnarray} g_{R_n}(t)=\sum\limits_{k=0}^n \mathbb P(R_n=k)t^k \end{eqnarray}$ Was fehlt ist also $\begin{eqnarray} P(R_n=k) \end{eqnarray}$ und damit habe ich ein Problem. Eine Möglichkeit wäre die Jordanformel, aber der Term lässt sich ja leider nicht wirklich vereinfachen: $\begin{eqnarray} P(R_n=k)=\sum\limits_{j=k}^n (-1)^{j-k} \binom{j}{k}\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_j\leq n} \mathbb P(A_{i_1}\cap ...\cap A_{i_j}), k=1,...,n \end{eqnarray}$ Wegen der Unabhängigkeit der Ereignisse bekommt man noch: $\begin{eqnarray} P(R_n=k)=\sum\limits_{j=k}^n (-1)^{j-k} \binom{j}{k}\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_j\leq n} \frac{1}{i_1} \cdot ... \cdot \frac{1}{i_j} \end{eqnarray}$ Doch weiter komme ich leider nicht. Bin ich total auf dem Holzweg oder übersehe ich hier nur was? Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte.

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