Beweis zu Grenzwertsatz

08.06.2014, 16:34	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Grenzwertsatz Meine Frage: Hey! Ich komme bei diesem Beweis irgendwie nicht weiter: Es seien $\begin{eqnarray} Y,Y_1,Y_2,... \end{eqnarray}$ Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen W-Raum mit existierenden Varianzen. Es gelte $\begin{eqnarray} \mathbb EY_n \rightarrow a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb V(Y_n) \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ , dann folgt $\begin{eqnarray} Y_n \rightarrow a \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also nach den Definitionen weiß ich schon mal Folgendes: $\begin{eqnarray} \mathbb EY_n \rightarrow a <=> \lim_{n \to \infty } \mathbb P(\| \mathbb EY_n -a \| \geq \epsilon)=0 \end{eqnarray}$ und das Ziel ist, dass gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \mathbb P(\| Y_n -a \| \geq \epsilon)=0 \end{eqnarray}$ . Ein hilfreicher Satz, der die Varianz nutzt, ist ja außerdem noch die Tschebyschow-Ungleichung, die allgemein für eine Zufallsvariable besagt: $\begin{eqnarray} \mathbb P(\| X - \mathbb EX \| \geq \epsilon) \leq \frac{\mathbb V(X)}{\epsilon^2} \end{eqnarray}$ Wenn ich also zeigen kann, dass $\begin{eqnarray} \mathbb P(\| \mathbb EY_n -a \| \geq \epsilon)\leq \mathbb P(\| Y_n - \mathbb EY_n \| \geq \epsilon)\leq \frac{\mathbb V(Y_n)}{\epsilon^2} \end{eqnarray}$ dann habe ich ja eigentlich den Beweis, denn der Limes des rechten Terms geht nach Voraussetzung gegen 0 und der linke ebenso, also nach dem Sandwich-Theorem aus der Analysis auch der mittlere und $\begin{eqnarray} \mathbb EY_n \end{eqnarray}$ ist ja nichts weiter als eine Konstante a. Ist meine Vorgehensweise soweit richtig? Mein Problem liegt dann in der Umsetzung, denn wie zeige ich die Ungleichung $\begin{eqnarray} \mathbb P(\| \mathbb EY_n -a \| \geq \epsilon)\leq \mathbb P(\| Y_n - \mathbb EY_n \| \geq \epsilon) \end{eqnarray}$ ? Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke.

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