Epsilon Tensor Identitäten

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09.06.2014, 11:16	Epsilonik	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon Tensor Identitäten Hallöchen, an dem schönen sonnigen Tag habe ich eine Frage zum Epsilon Tensor und wie man damit am geschicktesten Identitäten zeigt. Ich habe mich dazu schon durch das ganze Forum gesucht und bin - so hoffe ich - auch fündig geworden. In dem Thread "Kronecker-Delta / Levi-Civita-Tensor" wird gezeigt wie man den Epsilon Tensor in eine Determinante überführt und damit die Rechenregeln der Determinante anzuwenden. Nun ist durch den Beitrag allerdings nicht alles klar geworden so dass ich selber mal eine Aufgabe dazu durchrechnen möchte und es wäre toll wenn mir jemand an den Stellen helfen könnte die mir noch unklar sind. Die Aufgabe ist: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6 \end{eqnarray}$ Ich weiß das man den epsilon Tensor schreiben kann als: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} &\delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} &\delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{2k} &\delta_{3k}\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe mir dazu jetzt auch ein Beispiel gebildet mit: $\begin{eqnarray} \epsilon_{123} \end{eqnarray}$ wenn ich das in die Determinante einsetze und berechne erhalte ich $\begin{eqnarray} 27 \end{eqnarray}$ was wohl durch $\begin{eqnarray} 3^3 \end{eqnarray}$ entsteht da es ein Tensor dritter Stufe ist. Allerdings wird mir der genaue Zusammenhang zwischen dem Tensor und der Determinante dadurch auch noch nicht ganz klar. Kann da jemand noch etwas anderes zu sagen? Nun zu der Rechnung. Ich müsste was mir logisch erscheint $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} &\delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} &\delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{2k} &\delta_{3k}\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} &\delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} &\delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{2k} &\delta_{3k}\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ rechnen. Allerdings ist mir aufgefallen das in dem Thread den ich oben angefügt habe die zweite Determinante aus irgendeinem Grunde transponiert wurde? Das wäre schon einmal der erste Knackpunkt im Verständnis. Vielleicht hat ja jemand erbarmen bei dem warmen Wetter und kann sich dem Thread annehmen. LG Epsilonik
10.06.2014, 22:42	Epsilonik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon Tensor Identitäten Kann mir noch jemand helfen?
11.06.2014, 00:20	Felix.	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon Tensor Identitäten Bei $\begin{eqnarray} \varepsilon_{123} \end{eqnarray}$ hast du aber $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}1 & 0 & 0<br /> 0 & 1 & 0<br /> 0 & 0 & 1<br /> \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und die Determinante ist 1. Bei einer Diagonalmatrix braucht man bloß das Produkt der Diagonalelemente zu bilden, wenn man die Determinante ausrechnen will. Was willst du jetzt machen. Willst du $\begin{eqnarray} \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ ausrechnen? Das wäre einfach $\begin{eqnarray} \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}^2 = \sum_{i,j,k} \|\varepsilon_{ijk}\| \end{eqnarray}$ Die Summe ist sechs, weil drei mal die Eins und drei mal die minus Eins vorkommt. Der Gleichung $\begin{eqnarray} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6 \end{eqnarray}$ auch nur einen Sinn, wenn man aufsummiert. Eine sinvolle Aufgabe wäre, den dualen Feldstärketensor zu berechnen, da hat man ganz schön zu tun. Das Vektorprodukt kann man so auch berechnen. Weitaus interessanter ist der Zusammenhang mit dem äußeren Produkt. Der Zusammenhang mit den Permutationen ist auch interessnat. Allen Surjektionen, die keine Bijektionen sind, wird sozusagen null zugeordnet.
11.06.2014, 00:41	Felix.	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon Tensor Identitäten Das mit Surjektionen ist Quatsch. Man betrachtet allgemein Funktionen und ordnet allen, die keine Bijektionen sind, null zu.
11.06.2014, 01:39	Epsilonik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon Tensor Identitäten Hi Felix, 1) Ich habe die Determinante zu $\begin{eqnarray} \epsilon_{123} \end{eqnarray}$ folgendermaßen betrachtet: $\begin{eqnarray} \epsilon_{123}=\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{3k} & \delta_{3k} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \delta_{11} & \delta_{21} & \delta_{31} \\ \delta_{12} & \delta_{22} & \delta_{32} \\ \delta_{13} & \delta_{33} & \delta_{33} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ ... Und da dachte ich mir es gilt: $\begin{eqnarray} \delta_{ii}=3 \end{eqnarray}$ also habe ich jeweils ausgetauscht ... $\begin{eqnarray} =\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}=3\cdot 3\cdot 3=27 \end{eqnarray}$ Allerdings gilt ja auch das Delta gleich $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ist wenn die Indizes gleich sind. Das verwirrt mich nun etwas. Was gilt denn nun? 2) Ja genau, es handelt sich eigentlich um $\begin{eqnarray} \sum \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ Mir ist durchauß bewusst das ich es auch mit der Identität $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} \end{eqnarray}$ zeigen kann. Mir geht es aber prinzipiell darum es zu lernen wie ich das Problem lösen kann indem ich es in eine Determinante umschreibe. Ich füge mal noch den Thread an in dem ich diese Technik entdeckt habe. /thread.php?threadid=420697 Schonmal danke für deine Hilfe!
11.06.2014, 12:05	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu berechnen ist die Dreifachsumme $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 \sum\limits_{k=1}^3 (\epsilon_{ijk})^2 \end{eqnarray}$ Diese Summe besitzt formal 3³=27 Summanden, wobei alle Indexvarianten mitgezählt werden. Davon verschwinden diejenigen Summanden, wo mindestens 2 Indizes gleich sind, z.B. $\begin{eqnarray} (\epsilon_{112})^2=0 \end{eqnarray}$ . Übrig bleiben nur folgende 3!=6 Summanden mit verschiedenen Indizes: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 \sum\limits_{k=1}^n (\epsilon_{ijk})^2 =(\epsilon_{123})^2+(\epsilon_{231})^2+(\epsilon_{312})^2+(\epsilon_{213})^2+(\epsilon_{321})^2+(\epsilon_{132})^2 \end{eqnarray}$ Da jeder Summand den Wert 1 hat, lautet die Summe ebenfalls 3!=6. Hätte man 4 Indizes, wäre die Summe 4!=24 usw.
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11.06.2014, 12:54	Epsilonik	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, dass ist ja super, du bist ja der Threadersteller aus dem besagten Thread. Da kann ich ja direkt meine Fragen an dich stellen. Also das mit $\begin{eqnarray} \delta_{ii} \end{eqnarray}$ scheint mir jetzt auch klar geworden zu sein wieso ich es nicht damit umschreiben kann da dieser Ausdruck ja nach Summenkonvention summiert wird da doppelter Indize. Dann passt es auch mit $\begin{eqnarray} \epsilon_{123}=1 \end{eqnarray}$ wie oben beschrieben. In dem angefügten Thread hast du beschrieben das es geschickter sei den Epsilon Tensor als Determinante darzustellen da man damit bekannte Rechenregeln anwenden kann. Gilt das generell wenn ein Epsilon Tensor auftaucht? Also ich meine zum Beispiel ob man damit auch sehr viel einfacher Vektoridentitäten zeigen kann? Also sowas wie: $\begin{eqnarray} \vec{a}(\vec{b}\times\vec{c}) \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \vec{b}\times\vec{c}=\sum\epsilon_{ijk}a_ib_j\vec{e_k} \end{eqnarray}$ gilt also demnach $\begin{eqnarray} \vec{a}(\epsilon_{ijk}a_ib_j\vec{e_k}) \end{eqnarray}$ Lässt sich das auch geschickter mit der Umschreibung in eine Determinante zeigen? Nun allerdings meine Frage zu der Aufgabe: $\begin{eqnarray} \sum \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6 \end{eqnarray}$ . Ich möchte die Aufgabe gerne lösen indem ich sie in eine Determinante überführe. Meine Idee war dazu ja: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} &\delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} &\delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{2k} &\delta_{3k}\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} &\delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} &\delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{2k} &\delta_{3k}\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Kann ich das so durchziehen? Weil es irritiert mich etwas das du in dem besagten Thread die zweite Determinante quasi transponiert hast? Da frage ich mich wieso? Ich weiß das gilt: $\begin{eqnarray} det(A^T)=det(A) \end{eqnarray}$ Also könnte ich ja auch schreiben: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Gruß!
11.06.2014, 16:20	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Rechnung zwar mit Determinanten machen, wie du es willst. Das ist in diesem Falle aber unzweckmäßig, weil dadurch eine einfache Sache in eine komplizierte verwandelt wird. Meine erstere Argumentation ist viel einfacher. Diese Rechnungen mit Determinanten sind nur bei komplizierten Ausdrücken geeignet, wo man mit einfachen Überlegungen nicht weiter kommt. -------------- Ich lasse mal die Summenzeichen weg. Dabei gilt die Vereinbarung, dass über doppelt auftretende Summanzeichen zu summieren ist $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k} \end{vmatrix}}_{\|A\|}\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix}}_{\|B\|} \end{eqnarray}$ Für die Determinanten beliebiger Matrizen A, B gilt die Regel $\begin{eqnarray} \|A\|\cdot \|B\|=\|AB\| \end{eqnarray}$ . Beim Multiplizieren der Matrizen lautet z.B. das Matrixelement der Produktmatrix AB mit den Indizes ij wie folgt $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta_{1i}\delta_{1k}+\delta_{2i}\delta_{2k}+\delta_{3i}\delta_{3k}}_{\text{kurz: }\delta_{mi}\delta{mk}}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ Diese Gleichung kann man als allgemeine Regel auffassen, die wir unten noch benötigen. Wir erhalten also nach der Matrixmultiplikation $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{ii} & \delta_{ij} & \delta_{ik} \\ \delta_{ji} & \delta_{jj} & \delta_{jk} \\ \delta_{ki} & \delta_{kj} & \delta_{kk} \end{vmatrix}}_{\|AB\|} \end{eqnarray}$ Darin ist $\begin{eqnarray} \delta_{ii}=\delta_{jj}=\delta_{kk}=1+1+1=3 \end{eqnarray}$ . Wir erhalten also $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} 3 & \delta_{ij} & \delta_{ik} \\ \delta_{ji} & 3 & \delta_{jk} \\ \delta_{ki} & \delta_{kj} & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Determinante muss man formal ausmultiplizieren (Sarrus-Regel). Dann wendet man in den 6 entstehenden Summanden mehrfach die obige Regel an und müsste so insgesamt auf den Wert 6 kommen. ------------------------- Ich wiederhole aber, dass man in der Praxis diese umständliche Rechnung nicht machen würde.
11.06.2014, 21:50	Epsilonik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch ein paar Fragen: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k} \end{vmatrix}}_{\|A\|}\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix}}_{\|B\|} \end{eqnarray}$ Wieso hast du bei der zweiten Determinante $\begin{eqnarray} \|B\| \end{eqnarray}$ die Zeilen und Spalten vertauscht? Das frage ich mich schon die ganze Zeit. Nach meiner Logik müsste nämlich $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ jeweils mit der gleichen Determinante multipliziert werden ohne Zeilen und Spalten zu vertauschen. Ich habe jetzt mal etwas nachgerechnet und bin z.B. auf den Ausdruck: $\begin{eqnarray} \delta_{1i}\delta_{1k}+\delta_{2i}\delta_{2k}+\delta_{3i}\delta_{3k} \end{eqnarray}$ gekommen was sich mit den Regeln: $\begin{eqnarray} \delta_{ij}=\delta_{ji} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \delta_{im}\delta_{mk}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ umschreiben lässt zu: $\begin{eqnarray} \delta_{ik}+\delta_{ik}+\delta_{ik} \end{eqnarray}$ was nach meiner Logik $\begin{eqnarray} 3\delta_{ik} \end{eqnarray}$ ist. Du hast allerdings in deinem Beispiel: $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta_{1i}\delta_{1k}+\delta_{2i}\delta_{2k}+\delta_{3i}\delta_{3k}}_{\text{kurz: }\delta_{mi}\delta{mk}}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ alles zu einem $\begin{eqnarray} \delta_{ik} \end{eqnarray}$ zusammengefasst. Nach welcher Regel darf man das? Es macht doch einen Unterschied ob ich $\begin{eqnarray} 3\delta_{ik} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \delta_{ik} \end{eqnarray}$ habe da wenn $\begin{eqnarray} i=k \end{eqnarray}$ gilt wären das $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ und bei deiner Vereinfachung $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ... ? Entschuldige für die vielleicht doofen Fragen aber diese Kleinigkeiten stehen mir wirklich bei meinen Verständnis im Wege ... Erstmal danke für deine Mühe und Geduld. Gruß, Epsilonik
12.06.2014, 09:46	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Epsilonik Deine Frage: Warum wurden bei der Matrix B die Zeilen und Spalten verstauscht? Antwort: Bekanntlich ändert das Vertauschen der Zeilen und Spalten die Determinante nicht. Man berechnet bekanntlich die 3²=9 Matrixelemente der Matrixprodut AB, indem man die Zeile Nr. i der Matrix A mit der Spalte Nr. k der Matrix B multipliziert. In vorliegenden Fall ist es besser, nicht zu berechnen $\begin{eqnarray} \|A\|\cdot \|B\|=\|AB\| \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} \|A\|\cdot \|B^T\|=\|AB^T\| \end{eqnarray}$ . Das hat den Vorteil, dass für jedes Matrixelement $\begin{eqnarray} (AB^T)_{ik} \end{eqnarray}$ eine Summe entsteht, bei der im Summand Nr. m zwei mal der Index m auftritt, so dass man einfacher zusammenfassen kann, also $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta_{1i}\delta_{1k}}_{\text{Summand Nr. 1}}+\underbrace{\delta_{2i}\delta_{2k}}_{\text{Summand Nr. 2}}+\underbrace{\delta_{3i}\delta_{3k}}_{\text{Summand Nr. 3}}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ ---------------------------- Deine Frage: Nach welcher Regel darf man so zusammenfassen? Antwort: Da Kroneckerdelta ist im Prinzip nichts anderes als die Einheitmatrix. Beispiel 1: Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \delta_{ij}a_j=a_i \end{eqnarray}$ bedeutet also ausführlich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beispiel 2: Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \delta_{ij}b_{jk}=b_{ik} \end{eqnarray}$ bedeutet ausführlich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beispiel 3: Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ bedeutet ausführlich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das letzte Beispiel Nr. 3 ist genau die obige Formel, nach der du gefragt hast. Volkstümlich kann man sagen: Jedes Kronecker-Delta "tötet eine Index!
12.06.2014, 11:27	Epsilonik	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das erste ist mir jetzt komplett klar. Bei der zweiten Erklärung hat es allerdings immer noch nicht klick gemacht. Du sagst ja dass das Kronecker-Delta quasi nichts anderes als die Einheitsmatrix ist. Wenn ich allerdings doch drei Einheitsmatrizen habe und diese addiere also: $\begin{eqnarray} \delta_{ik}+\delta_{ik}+\delta_{ik}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=3\delta_{ik} \end{eqnarray}$ Irgendwie will es nicht in meine Birne oder ich bin einfach zu doof dafür ... Gruß, Epsilonik
12.06.2014, 14:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Es gilt $\begin{eqnarray} \delta_{ik}+\delta_{ik}+\delta_{ik}=3\delta_{ik} \end{eqnarray}$ . Das ist eine einfache Addition von 3 Einheitsmatrizen. Anders ist es bei der Gleichung, die hier zur Diskussion steht, nämlich $\begin{eqnarray} \delta_{1i}\delta_{1k}+\delta_{2i}\delta_{2k}+\delta_{3i}\delta_{3k}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ . Hier gibt es 2 Fälle: ---------------------------- Fall 1: Die Indizes i,k sind verschieden. In diesem Falle verschwinden alle 3 Summanden und folglich die Summe insgesamt. Setzt man z.B. i=2 und k=3, so erhält man $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta_{12}\delta_{13}}_{0}+\underbrace{\delta_{22}\delta_{23}}_{0}+\underbrace{\delta_{32}\delta_{33}}_{0}=0 \end{eqnarray}$ ----------------------------- Fall 2: Die Indizes i,k sind gleich. In diesem Falle verschwinden nur 2 Summanden, während der dritte Summand nicht verschwindet. Setzt man z.B. i=k=2, so erhält man $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta_{12}\delta_{12}}_{0}+\underbrace{\delta_{22}\delta_{22}}_{1}+\underbrace{\delta_{32}\delta_{32}}_{0}=1 \end{eqnarray}$ ------------------------------- Beide Fälle werden durch die obige Gleichung zu einer einzigen Gleichung zusammengefasst. Das ist der Witz der Sache.
12.06.2014, 15:19	Epsilonik	Auf diesen Beitrag antworten »
So macht es natürlich Sinn wie du es gemacht hast. Ich habe es immer so gemacht: $\begin{eqnarray} \delta_{1i}\delta_{1k}+\delta_{2i}\delta_{2k}+\delta_{3i}\delta_{3k}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ . Da gilt $\begin{eqnarray} \delta_{ik}=\delta_{ki} \end{eqnarray}$ habe ich jeweils immer das erste Delta umschrieben zu: $\begin{eqnarray} \delta_{i1}\delta_{1k}+\delta_{i2}\delta_{2k}+\delta_{i3}\delta_{3k} \end{eqnarray}$ Und jetzt die Rechenregel $\begin{eqnarray} \delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ angewendet also habe ich dann erhalten: $\begin{eqnarray} \delta_{ik}+\delta_{ik}+\delta_{ik} \end{eqnarray}$ und dann geschlussfolgert $\begin{eqnarray} =3\delta_{ik} \end{eqnarray}$ Kannst du mir denn noch sagen was an dieser Umformung falsch ist? Schonmal herzlichen Dank!
13.06.2014, 13:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Epsilonik Deine Frage: Kannst du mir sagen, was an dieser Umformung falsch ist? Antwort: Die linke Seite der Gleichung $\begin{eqnarray} \delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ muss man als Summe über j=1,2,3 auffassen. Die linke Seite ist also kein einzelner Summand dieser Summe für irgendein festes aber beliebiges j, sondern die Summe als Ganzes. Allgemeine Schreibweise: Über doppelt auftretende Indizes (hier Index j) wird automatisch summiert, auch wenn kein Summenzeichen dasteht. Diese Kurzschreibweise (also das Weglassen des Summenzeichens) bezeichnet man als "Einsteinsche Summenkonvention". Beispiele: $\begin{eqnarray} a_{ii}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{ij}x_j=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+...+a_{in}x_n \end{eqnarray}$ Bis Montag!

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