Integralformel für das Rotationsvolumen

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09.06.2014, 14:00	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralformel für das Rotationsvolumen Meine Frage: Brauche HILFE DRINGEND !! Ich habe eine Aufgabe bekommen wo ich mithilfe der Integralformel für das Rotationsvolumen belegen soll das man den gleichen Wert erhält, den man auch mit der von Johannes Kepler entwickelten Formel zur Volumen berechneung einen Weinfasses erhält. gegeben sind folgende Werte : keiner Radius : r40 cm großer Radius : R50 cm höhe des Fasses : h120 cm bräuchte hilfe bei der Lösung, möglichst schnell !! Meine Ideen: Das Volumen des Fasses nach der mir schon vorgegeben Formel ist 824,23 L $\begin{eqnarray} V= \frac{pi}{15}\times h\times \left(8R²+4Rr+3r²\right) <br /> \end{eqnarray}$ Danke schon mal
09.06.2014, 14:14	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Integralformel für Rotationsvolumen zu verwenden, brauchst du ja eine Funktion, die den Rand des Fasses beschreibt. Wie könntest du eine solche Funktion aus den gegebenen Werten bestimmen?
09.06.2014, 14:32	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
zudem soll ich die Keplerformel allgemin mithilfe des Integrals begründen und dafür die Parabelgleichung p(x) =-ax² +R mit hilfe des Punktes $\begin{eqnarray} \frac{h}{2} /r \end{eqnarray}$ ermitteln.
09.06.2014, 14:33	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ermitteln*
09.06.2014, 14:38	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht es denn zunächst mit der konkreten Funktion für das Fass aus?
09.06.2014, 14:53	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
mehr Informationen sind mir hierzu nicht gegeben :/ Daher weiß ich auch nicht weiter wie ich diese Aufgabe lösen soll
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09.06.2014, 15:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehr Informationen sind auch nicht nötig, du musst die nur richtig zu einer passenden Funktion zusammenstellen. Es soll ja das Volumen eines Rotationskörpers berechnet werden, dafür brauchen wir eine Funktion, die wir um die x-Achse rotieren lassen und welche dann den Rotationskörper bildet. Diese Funktion sollte die Randlinie des Fasses beschreiben, damit der gesamte Rotationskörper schließlich das Fass ist. Das sollte also irgendwie so aussehen: Die Funktion für diese Randlinie musst du aus den gegebenen Angaben zu dem Fass bestimmen.
09.06.2014, 15:31	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
okay ich habe eine Funktion erstellt: f(x) = -0,025 * (x-2)²+2,5
09.06.2014, 15:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, wie kommst du denn an diese Funktion? Die passt nicht wirklich zu den Angaben die du zum Fass gegeben hast. Welche Punkte zur Erstellung der Funktion hast du dir genommen?
09.06.2014, 15:44	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe mit dm gerechnet .. bleiben wir lieber bei cm verbesserte Funktion: f(x)=-0,25*(x-40)²+50 Die Werte habe ich jeweils aus den Radien. Hoffe das es jetzt richtig ist.
09.06.2014, 15:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann noch etwas nicht stimmen. Das Fass in der Zeichnung liegt auf der Seite, links und rechts sind die Böden des Fasses. Du musst das also quasi um 90° kippen. Ganz links und ganz rechts sollte es der kleine Radius sein, also soll z.B. $\begin{eqnarray} f(0)=40 \end{eqnarray}$ sein. Auf der x-Achse können wir die Höhe des Fasses abtragen, bei $\begin{eqnarray} x=120 \end{eqnarray}$ sollte also wieder der kleine Radius sein. Wo finden wir dann den großen Radius?
09.06.2014, 15:58	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Da das fass 120 lang ist befindet sich der große Radius auf der x-Achse, spirch genau in der Mitte bei 60.!?
09.06.2014, 16:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar! Genau da wird auch der Scheitelpunkt liegen, also können wir die Scheitelpunktform verwenden: $\begin{eqnarray} f(x)=a\cdot(x-60)^2+50 \end{eqnarray}$ . Lediglich das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ musst du noch bestimmen. Dazu kannst du z.B. den linken Boden verwenden, also $\begin{eqnarray} f(0)=40 \end{eqnarray}$ . Die fertige Funktion kannst du dann in der Formel für das Rotationsvolumen einsetzen.
09.06.2014, 16:12	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
a ermittel ich doch in dem ich den kleinen Radius vom vom großen subtrahiere und dann durch den kleinen Radius teile ? Sprich: (40-50) / 40 = -0,25
09.06.2014, 16:14	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so kannst du a nicht ermitteln. Setze einmal $\begin{eqnarray} f(0)=40 \end{eqnarray}$ in einen Zusammenhang mit der bisherigen Funktion. Damit erhältst du eine Gleichung die du nach a umformen kannst.
09.06.2014, 16:20	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
also 40 für x einsetzen und nach a umformen ?
09.06.2014, 16:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht die 40 für x, sondern 0 für x. 40 soll ja rauskommen.
09.06.2014, 16:33	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
also: f(0)= a*(0-60)²+50 ?! und diese jetzt ausklammern ? bzw. ausrechnen ?
09.06.2014, 16:44	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit kannst du das a ausrechnen. Wir haben ja auch noch gesagt, dass $\begin{eqnarray} f(0)=40 \end{eqnarray}$ sein soll, das kannst du auch noch einsetzen. Dann kommt nur noch a in der Gleichung vor.
09.06.2014, 16:52	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube ich habs a= 0,003 ?!
09.06.2014, 17:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt ein Vorzeichen, und ich würde nicht runden, sondern einfach den Bruch stehen lassen, also: $\begin{eqnarray} a=-\frac 1{360} \end{eqnarray}$ . Damit haben wir jetzt die Funktion, die wir für den Rotationskörper verwenden können. Du kannst das jetzt in die Formel für das Volumen einsetzen und ausrechnen.
09.06.2014, 17:16	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
gut !! also die formel für das rotationvolumen ist ja: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ folgend: $\begin{eqnarray} \int_a^b\! f[-\frac{1}{360} (0-60)² +50 ]\, dx \end{eqnarray*}$ soweit richtig ? oder muss ich erst die funktion ausklammern ?
09.06.2014, 17:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht die Formel für das Rotationsvolumen. Und du solltest danach auch den Funktionsterm wieder mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ einsetzen. Wir haben: $\begin{eqnarray} f(x)=-\frac 1{360}(x-60)^2+50 \end{eqnarray}$ . Die Formel für das Rotationsvolumen lautet: $\begin{eqnarray} \pi\cdot\int_a^b [f(x)]^2 \dx \end{eqnarray}$ . Die Grenzen entsprechen der linken bzw. rechten Grenze von dem Fass.
09.06.2014, 17:29	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ganz vielen Dank schon einmal !!! den teil habe ich jetzt gelöst. der zweite teil meiner aufgabe ist "[...] Begründe die keplerformel allgemin mithilfe des Integrals und ermittle dafür die Parabelgleichung p(x)=-ax²+R mithilfe des Punktes $\begin{eqnarray} \left(\frac{h}{2} \right /r) \end{eqnarray}$ . [...]" könnten Sie mir auch hier behilfreich sein ?
09.06.2014, 17:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
In dieser Aufgabe soll das noch einmal mit der (allgemeinen) Parabelgleichung durchgerechnet werden. Die Fasslinie wird dazu etwas verschoben. Das Fass wird jetzt so gelegt, dass die y-Achse durch die Mitte des Fasses verläuft; dadurch bekommt die Parabelgleichung dann die Form $\begin{eqnarray} p(x)=-ax^2+R \end{eqnarray}$ .
09.06.2014, 17:53	mathe_mathe_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
also muss ich jetzt das nochmal mit der allgemeinen Parabelgleichung lösen ? hierzu fehlt mir allerdings der ansatz wie ich da vorgehen soll. muss ich jetzt nochmal die Funktion aufstellen ?
09.06.2014, 18:02	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das soll jetzt mit der allgemeinen Parabelgleichung gelöst werden. Erstelle aber am besten für diese Aufgabe einen neuen Thread, ich werde gleich nicht mehr online sein.

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