Lemma von Borel-Cantelli

09.06.2014, 14:40	KnightofCydonia	Auf diesen Beitrag antworten »
Lemma von Borel-Cantelli Meine Frage: Es geht mir um den Beweis vom Lemma von Borel-Cantelli, den ich nicht ganz verstehe. Es wird nämlich glaube ich etwas anders vorgegangen als sonst überall zu lesen ist. Also das Lemma sagt aus: $\begin{eqnarray} \sum_{i\geq 0}{P(A_i)}<\infty\Rightarrow P(\limsup{A_i})=0 \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} E[\sum_{i\geq 0}{1_{A_i}}]=\sum_{i\geq 0}{E[1_{A_i}]}=\sum_{i\geq 0}{P[A_i]}<\infty \end{eqnarray}$ , wobei hier beim ersten Gleichheitszeichen der Satz von der monotonen Konvergenz eingeht. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{i\geq 0}{1_{A_i}}<\infty\Rightarrow \limsup{1_{A_i}}=0\Rightarrow P[\limsup{A_i}]=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mir ist schon nicht ganz klar was hier der Satz von der monotonen Konvergenz verloren hat. Hier wird doch Summe mit Integral vertauscht, oder? Der Satz sagt doch aber aus, dass wenn ich eine Folge von Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in\mathbb{N}}\geq0 \end{eqnarray}$ habe mit $\begin{eqnarray} X_n\nearrow X \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} n\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ ) fast sicher, dass dann auch $\begin{eqnarray} E[X_n]\nearrow E[X] \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} n\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ ) fast sicher. Nehme ich hier nun $\begin{eqnarray} X_n:=\sum_{i=0}^n{1_{A_i}} \end{eqnarray}$ ? Oder wie kann ich dann weiter machen? Brauche ich nicht eigentlich gleichmäßige Konvergenz? Wie hilft mir dann der Satz der monotonen Konvergenz weiter? Weil $\begin{eqnarray} E[\sum_{i\geq 0}{1_{A_i}}] \end{eqnarray}$ nun also ein endliches Integral ist, muss der Integrand endlich sein, also $\begin{eqnarray} \sum_{i\geq 0}{1_{A_i}}<\infty \end{eqnarray}$ , oder? $\begin{eqnarray} \sum_{i\geq 0}{1_{A_i}}<\infty \end{eqnarray}$ heißt dann wiederum, dass nur endlich viele $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ eintreten, oder? Sonst wäre die Summe ja nicht $\begin{eqnarray} <\infty \end{eqnarray}$ . Es wird nun $\begin{eqnarray} \limsup 1_{A_i}=0 \end{eqnarray}$ gefolgert. Intuitiv ist mir das klar, weil eben nur endlich viele $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ involviert sind. Mein Problem hier aber ist, dass 1 ja die Indikatorfunktion ist, also 1 oder 0 stehen habe und kein Ereignis. Oder Fasse ich das auf, als Das Ereignis, dass die Indikatorfunktion 1 ausspuckt? Es gilt $\begin{eqnarray} \limsup 1_{A_n}=1_{\limsup A_n} \end{eqnarray}$ . Das ist mir nicht ganz klar. Wieso denn? Das eine ist eine Funktion und das andere eine Menge (selbes Problem wie vorher), wieso kann ich da vertauschen? Das jedenfalls geht glaube ich in der letzten Folgerung ein. Man wendet ja den Erwartungswert an: $\begin{eqnarray} 0=E[0]=E[\limsup 1_{A_n}]=E[1_{\limsup A_n}]=P[\limsup A_n] \end{eqnarray}$ , oder? Ist jede hier vorgekommene Konvergenz "fast sicher"? Schon oder? Ich wäre sehr Dankbar, wenn mir jemand helfen kann.

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