Normale Matrizen, Spektralsatz, Diagonalisieren |
| 09.06.2014, 15:06 | forelle42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| Normale Matrizen, Spektralsatz, Diagonalisieren Hallo! ich habe ein paar verständnisfragen zu normalen matrizen. vielleicht könnte jemand die folgenden aussagen veri-/falsifizieren: - normale matrizen sind IMMER diagonalisierbar - normale matrizen haben NICHT immer eine ONB aus eigenvektoren - normale nxn-matrizen haben nur dann eine ONB aus eigenvektoren, wenn sie n verschiedene Eigenvektoren haben (ist das immer der fall? dann wäre die vorige aussage unnötig). müssen sie dazu auch n verschiedene Eigenwerte haben? kann es mehrere eigenvektoren zu einem einzigen eigenwert geben? - Transponierte abbildungen sind normal (A^T) - Matrizen in Treppenstufenform sind diagonalisierbar(warum?) irgendwie kommt da alles durcheinander :-/ lg veronika Meine Ideen: siehe oben |
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| 10.06.2014, 01:40 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
RE: Normale Matrizen, Spektralsatz, Diagonalisieren
Richtig. Normale Matrizen sind unitär diagonalisierbar.
Falsch. Es existiert immer eine ONB von EVen einer normalen Matrix.
s.o.. Gibt es n verschiedene EVen (Existenz gesichert, da Matrix normal), dann sind diese orthogonal, soweit sie zu unterschiedlichen Eigenwerten gehören. Normalisierbar sind sie immer. EVen zum selben EW kann man orthonormalisieren. Man kann also immer eine ONB konstruieren.
Nein!
Sicher, siehe Einheitsmatrix. Hat als einzigen EW die 1 und jeder Vektor ist EV.
Falsch. Die transponierte Abbildung ist genau dann normal, wenn die Abbildung selber normal ist. Normal ist eine Matrix nur dann, wenn , was beispielsweise für symmetrische Matrizen gilt.
Nee. Aber sie können in Jordan-Normalform überführt werden. |
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