Cauchyfolge

09.06.2014, 15:16	verwirrtewelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyfolge Meine Frage: Also, man man hat die reele Zahlenfolge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ n ist Element der natürlichen Zahlen für die gilt: $\begin{eqnarray} \| a_{n+1} - a_{n} \| < q\| a_{n} - a_{n-1} \| \end{eqnarray}$ für alle n Element der natürlichen Zahlen (0 < q < 1). Man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert, indem man nachweist, dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge ist. Als Hinweis habe ich, dass man zuerst $\begin{eqnarray} \| a_{n+1} - a_{n} \| \end{eqnarray}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray} \| a_{2} - a_{1} \| \end{eqnarray}$ abschätzen soll. In Teil b) soll man dann überprüfen, ob die Aussage auch für q = 1 gilt, wenn weiter vorrausgesaetz wird, $\begin{eqnarray} \| a_{n+1} - a_{n} \| \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist. Meine Ideen: Ich habe so gar keine Idee. Ich wäre über einen Ansatz echt dankbar. Bin schon ganz verzweifelt. Vielen Dank für die Hilfe.
09.06.2014, 16:37	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} 0<q<1 \end{eqnarray}$ gilt, so ist $\begin{eqnarray} (q^n)_n \end{eqnarray}$ Nullfolge. Jetzt weißt du, dass $\begin{eqnarray} \| a_{n+1} - a_{n} \| < q\| a_{n} - a_{n-1} \| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt, also gilt auch $\begin{eqnarray} \|a_{n}-a_{n-1}\|<q \cdot \|a_{n-1}-a_{n-2}\| \end{eqnarray}$ etc. Fahre erstmal so fort.
09.06.2014, 17:41	verwirrtewelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, dann würde ich das so machen: $\begin{eqnarray} \|a_{n-1}-a_{n-2}\|<q \cdot \|a_{n-2}-a_{n-3}\| \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \|a_{n-2}-a_{n-3}\|<q \cdot \|a_{n-3}-a_{n-4}\| \end{eqnarray}$ und immer so weiter irgendwann müsste man doch dann zu $\begin{eqnarray} \|a_{3}-a_{2}\|<q \cdot \|a_{2}-a_{1}\| \end{eqnarray}$ kommen. Aber was muss ich noch machen? Und in wie nfern ist das dann berücksichtigt? Also das man zeigt, dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert, indem man nachweist, dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge ist. Als Hinweis habe ich, dass man zuerst $\begin{eqnarray} \| a_{n+1} - a_{n} \| \end{eqnarray}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray} \| a_{2} - a_{1} \| \end{eqnarray}$ abschätzen soll.
10.06.2014, 07:41	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt lässt du aber noch etwas übrig Es ist $\begin{eqnarray} \|a_{n}-a_{n-1}\|<q\cdot \|a_{n-1}-a_{n-2}\| < q \cdot ( q\cdot \|a_{n-2}-a_{n-3}\|) = q^2 \cdot \|a_{n-2}-a_{n-3}\| \end{eqnarray}$ , das kannst du jetzt wieder abschätzen.
10.06.2014, 13:21	verwirrtewelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann habe ich jetzt: $\begin{eqnarray} \|a_{n}-a_{n-1}\|<q\cdot \|a_{n-1}-a_{n-2}\| < q^{2} \cdot \|a_{n-2}-a_{n-3}\| < q^3 \cdot \|a_{n-3}-a_{n-4}\|<...< q^n \| a_{2} - a_{1} \| \end{eqnarray}$
10.06.2014, 15:13	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, jetzt musst du nur noch zeigen, dass man für alle $\begin{eqnarray} n>m>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ findet, sodass $\begin{eqnarray} \|a_{n}-a_m\|<\epsilon \end{eqnarray}$ . Dafür kannst du etwa $\begin{eqnarray} n=m+k \end{eqnarray}$ mit einem $\begin{eqnarray} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ setzen, und dann $\begin{eqnarray} \|a_{m+k}-a_m\|=\|a_{m+k}-a_{m+k-1}+a_{m+k-1}-a_{m+k-2}-\dots -a_{m+1}+a_{m+1}-a_m\| \end{eqnarray}$ mit der Dreiecksungleichung abschätzen, dadurch wirst du eine geometrische Reihe erhalten.
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