Projektion eines Vektors auf Unterraum und Abstand dazu

09.06.2014, 16:09

the.real.mvp

Projektion eines Vektors auf Unterraum und Abstand dazu

Meine Frage:
Hallo Zsm. Bräuchte dringend Hilfe.

Durch vorige Teilaufgaben gegeben:

U = [ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ]

Basis von U = span [ (1/3)* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , (1/3)* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , (1/3)* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ]

Vektor x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgaben:

1)"Man bestimme die Projektion des Vektors x = (0, 1, 0, 0)T auf U."<<<hierfür ist die Formel des Gram-Schmidt Verfahrens gegeben.>>>

2)"Liegt x in U bzw. wie groß ist gegebenenfalls der Abstand zu U
(man beachte dabei, dass der Verbindungsvektor zwischen x und $\begin{eqnarray*} x_{u} \end{eqnarray*}$ senkrecht auf U steht)?"

Meine Ideen:
Zu 1)
Das Gram Schmidt verfahren habe ich in einer der vorherigen
Teilaufgaben bereits angewendet, um die Basis zu berechnen. Dazu wurden ja im Salopp gesagt die 3 Vektoren jeweils aufeinander projizert, bie sie neue Basisvektoren darstellten.

Mir ist jedoch nicht klar , wie ich nun Anhand dieses Verfahrens einen Vektor auf einen Unterraum projizieren soll.

eine Überlegung wäre, einfach eine neue Basis zu erschaffen, indem ich auf Lin. Unabh. prüfe, und dann das Gram Schmidt Verfahren wie gewohnt anwende, jedoch mit dem zusätzlichen Vektor, also am Ende einen Basisvektor mehr habe.

Zu 2)
da stehe ich leider vollkommen auf dem Schlauch

09.06.2014, 20:21

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RE: Projektion eines Vektors auf Unterraum und Abstand dazu
Gram Schmidt tut doch in jedem Schritt nichts anderes, als einen Vektor auf einen Unterraum zu projizieren und dann eine Differenz zu bilden. Und den ersten Teil sollst du mit U und x noch einmal machen.
Bei 2) kommt dann die Differenzbildung ins Spiel.

Wenn das

Zitat:

span [ (1/3)* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , (1/3)* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , (1/3)* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ]

übrignes irgendwie auf eine Orthonormalbasis von U hindeuten soll, ist da einiges schief gelaufen.

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