Lagrange-Multiplikatoren, Extrema Mit Nebenbedingungen

09.06.2014, 17:18

DeltaX

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Lagrange-Multiplikatoren, Extrema Mit Nebenbedingungen

Hallöchen und frohe Pfingsten! Wink

Wink

Ich sitze zur Zeit an folgender Aufgabe:

Man solle alle Extrema der folgenden Funktion bestimmen,

$\begin{eqnarray*} f(\vec x)= x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2 \end{eqnarray*}$

und das unter der Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} \mathbb S^3=\{ \vec x \in \mathbb R^4; x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\} \end{eqnarray*}$ .

Ich habe die NB als Funktion g geschrieben:

$\begin{eqnarray*} g(\vec x)= x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-1=0 \end{eqnarray*}$

Die Regularität $\begin{eqnarray*} \nabla g(\vec x) \neq \vec 0 \end{eqnarray*}$ ist gegeben für $\begin{eqnarray*} \vec x \neq \vec 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich versuchte es nun mit den Lagrange-Multiplikatoren:

$\begin{eqnarray*} L_\lambda (\vec x)= f(\vec x)+\lambda g(\vec x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2+\lambda \cdot ( x_1^2+x_2^2-x_3^2+x_4^2-1) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun den Gradienten bilde, und jenen gleich mit dem Nullvektor setze, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x_1+\lambda 2x_1 \\ 2x_2+\lambda 2x_2 \\ 2x_3+\lambda 2x_3 \\-2x_4+\lambda 2x_4 \end{pmatrix} = \vec 0 \end{eqnarray*}$

Effektiv erhalte ich also 2 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 1+ \lambda =0 \text {~und~} -1+\lambda =0~ \Rightarrow~ \lambda = -1 \vee \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

Das einsetzen dieser Lambda führt aber leider zu keinem weiteren Ergebnis, mit dem ich arbeiten kann...

Kann mir jemand nen Tipp geben?

Dankeschön! smile

smile

Wink

09.06.2014, 19:59

mYthos

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Es gibt (incl. der NB) 5 Gleichungen, davon 4, in welchen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ enthalten ist.
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ muss alle 4 Gleichungen erfüllen und das geht nur, wenn $\begin{eqnarray*} x_4 = 0 \end{eqnarray*}$ ist (folgt aus der 4. Gleichung), denn dort muss $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , welches nur einen Wert haben kann, wie in den anderen 3 Gleichungen, den Wert 1 besitzen.
Daraus folgt, dass von x1, x2 und x3 Variable unter Einbindung der Nebenbedingung in 2 Freiheitsgraden mit beliebigen Parametern belegt werden können, $\begin{eqnarray*} x_1 = r, x_2 = s, x_3 = ... \end{eqnarray*}$ , das Produkt mit $\begin{eqnarray*} \lambda - 1 \end{eqnarray*}$ ist ohnehin immer Null.

Wie sieht nun die Lösung aus?

mY+

09.06.2014, 20:19

DeltaX

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Hallo

Wink

und danke für die Antwort smile

smile

Bei den 3 Gleichen Zeilen habe ich zwar schon darüber nachgedacht, Parameter einzufügen, wie man es noch vom LGS-Lösen aus der Schule kannte, allerdings hätte dies doch zu Folge, dass es demnach unendlich viele Lösungen gibt.
Zumindest hätte ich jetzt meine Parametrisierten $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4=0 \end{eqnarray*}$ , wie wir es sonst in der Uni auch immer gemacht haben, in die Nebenbedingung eingesetzt...

Oder ist dieses Vorgehen hier falsch?

09.06.2014, 23:35

mYthos

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Nein, es ist nicht falsch, so muss man es machen. Es gibt daher eine Lösungsschar, d.h. unendlich viele Lösungsquadrupel:

$\begin{eqnarray*} L = \{r; s; 1-r^2-s^2;0\} ; \ \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

mY+

10.06.2014, 00:14

DeltaX

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Hey!

Wink

Okay, was mich nur verwirrt ist, dass die Menge S m.E. ja kompakt ist; das ist auch eine weitere Aufgabe im späteren Verlauf, daher nimmt die Funktion mit der NB doch nur ein Maximum und ein Minimum an, oder?

Das ist das was ich eben mit der Schar in den Widerspruch setze

verwirrt

10.06.2014, 02:05

mYthos

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Ich habe mich jetzt nur auf die Lösung bzw. Lösbarkeit des Lagrange-Systems bezogen, wonach du gefragt hast. Die anderen Umstände kann ich nicht beurteilen.
Übrigens ist bei deinem Ansatz $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ richtig, bei mir ist es +1, weil die NB mit (-1) multipliziert wurde.

mY+

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10.06.2014, 08:18

DeltaX

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Guten Morgen! Wink

Wink

Ich habe nochmal gegoogled, und habe folgendes herausgefunden.

Wie ich schon meinte; $\begin{eqnarray*} \mathbb S \end{eqnarray*}$ beschreibt die Menge und dessen Bedingung unsere Nebenfunktion.

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb S \end{eqnarray*}$ kompakt ist (also beschränkt und abgeschlossen)[ist sie ja, wenn ich mich nicht irre], nimmt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb S \end{eqnarray*}$ ein Minimum und ein Maximum an.

Also entweder ist die Kompaktheit dann nicht gegeben, da es ja eine Schar als Lösung gibt, oder ich habe den Lagrange-Ansatz falsch gemacht...

Grade bin ich eeetwas ratlos..

Danke smile

smile

Edit.// Habe es mal von Wolframalpha durchführen lassen, und ich bekomme dort effektiv mindestens ein Maximum und ein Minimum;
kann es also sein, dass die Kompaktheit hier keine vorangestellte Rolle spielt?

10.06.2014, 08:25

Huggy

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Zitat:

Original von DeltaX
Da $\begin{eqnarray*} \mathbb S \end{eqnarray*}$ kompakt ist (also beschränkt und abgeschlossen)[ist sie ja, wenn ich mich nicht irre], nimmt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(\vec x) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb S \end{eqnarray*}$ ein Minimum und ein Maximum an.

Dies bedeutet nach allgemeinem mathematischem Sprachgebrauch mindestens ein und nicht genau ein. Damit ist alles in bester Ordnung, wobei ich mir die Rechnungen nicht angeschaut habe.

10.06.2014, 08:38

DeltaX

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Hey

Wink

Das hab ich sogar in der Sekunde gefragt, ich dachte schon @Huggy, du kannst ziemlich schnell tippen Big Laugh

Big Laugh

Ich werde dann im Folgenden mein $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$
in die Gleichungen einsetzen.

Mit der Parametrisierung gilt doch dann dennoch, eingesetzt in die NB, dass

$\begin{eqnarray*} x_1=r;~ x_2=s;~x_4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r^2+s^2+x_3^2=1 ~\Leftrightarrow ~ x_3^2=1-r^2-s^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3= \pm \sqrt { 1-r^2-s^2 } \end{eqnarray*}$

Ab hier muss ich dann also noch die Art der Extrema herausfinden, an Stellen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r \\ s \\ \pm \sqrt{1-r^2-s^2} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig?

Dankeschön!

10.06.2014, 11:36

mYthos

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SO habe ich es dir ja schon zuvor geschrieben .. Big Laugh

Big Laugh

mY+

10.06.2014, 22:44

DeltaX

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Aber jetzt weiß ich zumindest auch warum Big Laugh

Big Laugh

Ich werde mich am Donnerstag weiter damit befassen, bin morgen leider beruflich verhindert; ich bleib' aber am Ball und melde mich wieder.

Danke mythos für die Hilfe Freude

Freude

Bis die Tage! Wink

Wink

14.06.2014, 21:42

Jefreyl

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Ich vermute mal das die Variablen in der Klammer eigentlich alle ein positives Vorzeichen haben sollten.

Nicht

$\begin{eqnarray*} L_\lambda (\vec x)= f(\vec x)+\lambda g(\vec x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2+\lambda \cdot ( x_1^2+x_2^2-x_3^2+x_4^2-1) \end{eqnarray*}$

Sondern

$\begin{eqnarray*} L_\lambda (\vec x)= f(\vec x)+\lambda g(\vec x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2+\lambda \cdot ( x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-1) \end{eqnarray*}$

14.06.2014, 22:05

DeltaX

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Jop war nur falsch abgetippt.

Ich sitze gerade nur am "Art-Beweis", dass alle Punkte an Stellen

$\begin{eqnarray*} (r,s,\pm \sqrt{1-r^2-s^2},0)^T \end{eqnarray*}$ Maxima sind.

14.06.2014, 22:28

URL

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Nur mal so eine Idee: Wenn du in deine Zielfunktion
$\begin{eqnarray*} f(\vec x)= x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2 \end{eqnarray*}$
die Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, bekommst du
$\begin{eqnarray*} f(\vec x)= 1-2x_4^2 \end{eqnarray*}$

15.06.2014, 00:15

DeltaX

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Hey URL, ich verstehe was du gemacht hast, aber ich sehe nicht ganz warum :0

Wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f(\vec x)= 1-x_4^2 \end{eqnarray*}$ benutze um die Extremalbedingung zu prüfen erhalte ich ja hier dann:
$\begin{eqnarray*} \nabla f(\vec x) = (0,~0,~0,~-4x_4) \stackrel {!}{=} \vec 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_i=0, \qquad i\in\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$

Das hatten wir ja bereits...

Jedenfalls hab ich auch weiter gemacht, bzw. jetzt wieder gefunden und vorher als triviale Lsg. abgestempelt;

$\begin{eqnarray*} \text {Seien }x_1, x_2, x_3 = 0, \text {~und~} x_4 \neq 0 : \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g(0,0,0,x_4)=0+0+0+x_4^2=1 \Leftrightarrow x_4=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Kurioserweise (?) ist das nur war für $\begin{eqnarray*} \lambda = -1; ~~ x_4=1 \end{eqnarray*}$
und dementsprechend

$\begin{eqnarray*} \lambda =1; ~~ x_4=-1 \end{eqnarray*}$

Ich mache dann morgen den Beweis, für HP und TP.

Eine Frage noch, gibt es einen schnellen mathematischen Beweis für die Kompaktheit der Menge, die die NB vorgibt?

Wink

Wink

15.06.2014, 00:43

Jefrey

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Die Extrema sind ja in

$\begin{eqnarray*} (r,s,\pm \sqrt{1-r^2-s^2},0)^T \end{eqnarray*}$

vorhanden.

Geht es dann nicht über die Definitheit der Lagrange Funktion?

15.06.2014, 00:50

DeltaX

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Fast, der zugehörigen Lagrange-Hesse-Matrix, musst du mal googlen, findet man relativ gut.

Ich hab nur zu so später Stunde keine Ausdauer mehr smile

smile

Wink

15.06.2014, 01:23

Jefrey

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Meine geänderte Hesse Matrix ist somit eine 5x5 Matrix und ich finde schon, dass das etwas arbeitsaufwendig ist, deshalb frage ich nochmal lieber nach. Ist das die schnellste Möglichkeit Art der Extrema zu bestimmen bezogen auf Extrema mit Nebenbedingungen? traurig

traurig

15.06.2014, 10:35

Huggy

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Es gibt oft andere Möglichkeiten als die geränderte Hessematrix, um die Art der Extrema bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen zu bestimmen. Hier geht das ganz einfach, weil sich das absolute Maximum und das absolute Minimum der Zielfunktion ganz ohne Differentialrechnung bestimmen lassen. Das Maximum ergibt sich, wenn man den Term

$\begin{eqnarray*} x_1^2+x_2^2+x_3^2 \end{eqnarray*}$

möglichst groß und den Term

$\begin{eqnarray*} x_4^2 \end{eqnarray*}$

möglichst klein macht. Wegen der Nebenbedingung bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4=0 \end{eqnarray*}$

Das Minimum ergibt sich umgekehrt, wenn man den ersten Term möglichst klein und den zweiten möglichst groß macht. Wegen der Nebenbedingung bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4^2=1 \end{eqnarray*}$

Beide Lösungen ergeben sich übrigens auch aus der Lagrangemethode und nicht nur die erste. Die Lagrangemethode ergibt weiter, dass

$\begin{eqnarray*} \lambda \neq \pm 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=x_4=0 \end{eqnarray*}$

erfordern würde, was mit der Nebenbedingung nicht kompatibel ist. Es gibt daher keine weiteren lokalen Extrema. Damit sind alle Extrema gefunden.

15.06.2014, 12:19

URL

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Warum ich die Zielfunktion $\begin{eqnarray*} f(\vec x)= 1-2x_4^2 \end{eqnarray*}$ betrachte?
Weil ihre Einführung das Hantieren mit Lagrange-Multiplikator schlicht überflüssig und die Lage der HP und TP ziemlich offensichtlich macht.

15.06.2014, 15:30

Jefreyl

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@Huggy, so ganz habe ich nicht verstanden was du da machst. Wenn ich das nun mithilfe der geänderten Hesse Matrix löse und zunächst den Kritischen Punkt mit der positiven Wurzel betrachte, komme ich auf folgende Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2r & 2s & 2\sqrt{-r^{2} -s^{2}+1} & 0 \\ 2r & 2x+2 & 0 & 0 & 0 \\ 2s & 0 & 2x+2 & 0 & 0 \\ 2\sqrt{-r^{2} -s^{2}+1}& 0& 0 & 2x+2 & 0 \\ 0& 0& 0 & 0& 2x+2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Das x soll hier das Lambda darstellen - Lagrange Multiplikator). Jetzt muss ich nur noch die Hauptminoren betrachten, sprich die Determinante der 3x3,4x4 und 5x5 Matrix berechnen? So habe ich das nun verstanden, alaut Lösungsweg mithilfe der Hesse Matrix.

15.06.2014, 15:33

Jefreyl

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Die weitere Teilaufgaben lauteten im übrigen

(b) Zeigen Sie, dass f auf S3 ein Maximum und ein Minimum annimmt.
(c) Was können Sie mit Hilfe von (b) über die kritischen Punkte aus (a) sagen?

Die kritischen Punkte sind ja bereits bekannt, nämlich $\begin{eqnarray*} (r,s,\pm \sqrt{1-r^2-s^2},0)^T \end{eqnarray*}$ .

Ich habe die Aufgabe genannt, da vielleicht von ihr vorhergehen könnte, dass man einen bestimmen Lösungsweg wählen muss anstatt die bisher genannte. Oder kan man es tatsächlich mit Hesse Matrix machen?

15.06.2014, 15:59

Jefreyl

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Sorry für den dritten Post, muss leider noch etwas hinzufügen. Ich denke ich muss bei b über Kompaktheit argumentieren, da sie ja bekanntlich im gegebenen Intervall ihr max. und min. annehmen. Nun stellt sich hier die Frage, welche Menge ich bei einer Extremaaufgabe mit Nebenbedingung auf Kompaktheit untersuchen soll. Ich denke mal nur die Nebenbedingung soll ich auf Kompaktheit überprüfen?

15.06.2014, 18:32

mYthos

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Zitat:

Original von Jefreyl
...
Wenn ich das nun mithilfe der geänderten Hesse Matrix löse ...

Du schreibst andauernd geänderte Hesse Matrix, sodass ich davon ausgehen muss, dass dies deinerseits kein Tippfehler mehr ist.

Richtig heisst es: Geränderte Hesse Matrix

mY+

16.06.2014, 08:55

Huggy

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Zitat:

Original von Jefreyl
(Das x soll hier das Lambda darstellen - Lagrange Multiplikator). Jetzt muss ich nur noch die Hauptminoren betrachten, sprich die Determinante der 3x3,4x4 und 5x5 Matrix berechnen? So habe ich das nun verstanden, alaut Lösungsweg mithilfe der Hesse Matrix.

Im Prinzip richtig. Nur ist der Matrixeintrag $\begin{eqnarray*} H_{55} \end{eqnarray*}$ nicht korrekt. Außerdem musst du für diesen Lösungsvektor auch das zugehörige $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Damit ergibt die 3x3-Determinante 0. Die geränderte Hessematrix gibt daher keine Auskunft, ob tatsächlich ein Extremum und welcher Art vorliegt. Auch für den Lösungsvektor, der zum Minimum führt, liefert die geränderte Hessematrix keine Entscheidung. Also ist man auf eine andere Argumentation angewiesen, z. B. die mit der Kompaktheit des Definitionsbereichs.

16.06.2014, 10:27

Jefreyl

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Genau, deshalb wollte ich das ebenfalls über die Kompaktheit beweisen, da man ja nur zeigen muss ob die Funktion ein Maximum und Minimum bzgl. der Nebenbedingung annimmt.

Nur stellt sich die Frage, wie man das beweisen soll. Ich muss sicherlich nur die abgeschlossenheit und die beschränktheit zeigen, wie das aber funktioniert weiss ich nicht.

Beschränkt ist sie ja bekanntlich wenn sie ihre obere und untere Schranke annimmt. Das zu zeigen ist aber nicht einfach.

16.06.2014, 13:13

Huggy

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Zitat:

Original von Jefreyl
Beschränkt ist sie ja bekanntlich wenn sie ihre obere und untere Schranke annimmt. Das zu zeigen ist aber nicht einfach.

Das ist nicht richtig.
Lies noch mal nach, wie die Beschränkheit einer Menge, auf der eine Abstandsdefinition vorliegt, definiert ist. Beschränkheit und Abgeschlossenheit der durch die Nebenbedingung gegebenen Punktmenge sind ganz einfach nachzuweisen.

16.06.2014, 13:51

Jefreyl

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Ich finde absolut keine passenden Beispiele, leider werden nur Intervalle behandelt, also das ist eigentlich das einzige was ich dazu gefunden habe mit einer Ausnahme.

Zur Beschränktheit habe ich ein Beispiel gefunden nämlich

M={x € IR;x+y+z größer gleich 1}

Hier wurde danne infach der Betrag vom Vektor (h,h,h) berechnet und da dieser offensichtlich größer als 1 ist ist die Menge nicht beschränkt. Wieso aber der Betrag von diesem Vektor berechnet wird als Gegenbeweis verstehe ich nicht.
_______________________

So habe ebend etwas eventuell gebräuchliches gefunden:

Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ heißt beschränkt wenn ein $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | | x | | \leq a \forall x\in M \end{eqnarray*}$ existiert.
______________________

Wenn ich das nun auf unsere Menge der Nebenbedingung anwende, brauch ich doch nur einen allgemeinen Vektor (x,y,z,t) der die Bedingung a+b+c+d=1 (Ich habe a,b,c,d anstatt xi verwendet mit i=1,2,3,4) erfüllt und zu zeigen das dieser kleiner gleich der Betrag von a element IR ist?
______________________

Wenn ich das z.b. auf den Vektor (0,0,g,g-1) anwende und davon halt den Betrag ziehe dann hat das doch keine Schranke demnach kann die Menge doch nicht beschränkt sein?
______________________

Bitte in Bezug zur Beschränktheit & Abgeschlossenheit im Thread Kompakte Mengen antworten, da ich das dort bereits gestern angesprochen hat. Geht um dieselbe Menge. Nur damit nicht zwei Threads dasselbe Thema behandeln. Hier ging es ja eher nur um die Extrema.

Edit (mY+): 5(!) Mehrfach-Posts zusammengefügt!

16.06.2014, 16:59

Huggy

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Zitat:

Original von Jefreyl
Bitte in Bezug zur Beschränktheit & Abgeschlossenheit im Thread Kompakte Mengen antworten, da ich das dort bereits gestern angesprochen hat. Geht um dieselbe Menge. Nur damit nicht zwei Threads dasselbe Thema behandeln. Hier ging es ja eher nur um die Extrema.

Edit (mY+): 5(!) Mehrfach-Posts zusammengefügt!

Ich lasse dort mal Che Netzer weitermachen, der sich der Sache angenommen hat.

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